Физическое описание явления фильтрации жидкости

9. Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации упругой жидкости по различным законам фильтрации в упругой пористой среде.

1. Физическое описание явления фильтрации жидкости

1.1. Закон фильтрации  однородной жидкости

Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее элементарную площадку S. Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Q. Тогда проекция вектора u на нормаль к выделенной площадке равна lim Δ Q/(p S), где p – плотность жидкости. Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S, а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение  теории фильтрации - закон фильтрации - устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем  давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.

Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости - постоянным. Нельзя пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует (по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом давления grad p. Пористая среда характеризуется геометрическими параметрами - характерным размером d и некоторыми безразмерными характеристиками: пористостью m, безразмерными параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в систему определяющих величин следует включить также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкостьm. Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента давления grad p от вектора скорости фильтрации u, геометрических характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости r и m. Среди величин, от которых зависит grad p, только скорость фильтрации u является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u.

Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором u. В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u. Если повернуть выбранную произвольную систему координат относительно направления вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен измениться и вектор grad p, зависящий только от этих параметров. Но если grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u, то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по направлению вектора u, так что

 

grad p= - си, (1)

 

где с - некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости u, а также величин d, m, p, m.

Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных движений, встречающихся на практике. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и m. Выпишем размерности интересующих нас величин:

(2)

 

Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями (например, u, m, и d). Тогда, согласно p - теореме, анализа размерностей искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять пористость m, в качестве другой выберем cd²/m. Таким образом, имеем

 

cd²/m= f (m),   c=md^-2f(m). (3)

 

После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:

(4)

 

Это соотношение называется законом  фильтрации Дарси (по имени французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k=d²/f(m), вводимая уравнением (4), носит название проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В физической системе единиц проницаемость  измеряется в см². Однако проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10^-8-10^-9см²; проницаемость плотных песчаников - около 10^-10 см². Ввиду этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица проницаемости 1Д (дарси)= 1,02× 10^-8 см².

В практике гидротехнических расчетов вместо давления обычно используется напор H = p/rg, и закон Дарси записывается в виде:

 

(5)

 

Величина C, имеющая размерность  скорости, называется коэффициентом фильтрации.

Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости. Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени - Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность å и пористость m:

(6)

 

Постоянная К определяется из опыта  и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.

Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re << 1). Поэтому представляются нецелесообразными многочисленные попытки получить закон Дарси путем осреднения уравнений Навье - Стокса. Ясно, что любой такой вывод будет сводиться в конечном счете к попытке вычислить проницаемость по известной геометрической структуре пористой среды.

Закон Дарси имеет весьма широкую  область приложения и на его основе получены основные результаты теории фильтрации. Существуют, однако, случаи, когда линейный закон фильтрации Дарси не применим. Эти случаи, необходимые обобщения закона Дарси и возникающие при этом нелинейные задачи теории фильтрации будут рассмотрены ниже. Пока же будем считать все рассматриваемые движения подчиняющимися закону Дарси.

До сих пор предполагалось, что  пористая среда изотропна. Если пористая среда не является изотропной, то из общих соображений можно утверждать, что в произвольной ортогональной декартовой системе координат х₁, х₂, х₃ компоненты вектора grad p выражаются через компоненты u_i вектора следующим образом:

 

(7)

 

где c_ij - некоторый тензор. В случае безинерционных движений компоненты тензора c_ij могут зависеть только от вязкости жидкости m, тех или иных геометрических характеристик пористой среды и модуля вектора скорости фильтрации .

 Аналогично выводу формулы (7) можно  показать, что c_ij=mr_ij, где тензор r_ij зависит только от геометрических характеристик пористой среды и вызывает тензором удельных фильтрационных сопротивлений; компоненты тензора r_ij имеют размерность обратной площади. Выражая, наоборот, компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем

(8)

 

где тензор k_ij является обратным тензору r_ij, также зависит от геометрических характеристик пористой среды, имеет размерность площади называется тензором проницаемости. Эта зависимость представляет собой закон Дарси для анизотропной пористой среды.

Покажем теперь, что тензор сопротивлений r_ij и тензор k_ij являются симметричными, т.е. r_ij = r_ij, k_{ij =} k_ij. В самом деле, на пористую среду со стороны фильтрующейся жидкости действует объемная сила, пропорциональная градиенту давления; безразмерный множитель пропорциональности зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Удельная работа этой силы, т.е. работа за единицу времени на единицу объема системы жидкость - пористая среда, равная удельной диссипации энергии жидкостью в пористой среде, равна скалярному произведению

(9)

 

Очевидно, что удельная работа сил взаимодействия жидкости с пористой средой не должна зависеть от выбора осей координат х₁, х₂, х_3. Но для того чтобы квадратичная форма r_βα , пропорциональная этой удельной работе, не зависела от выбора системы координат, необходимо и достаточно, чтобы r_αβ = r_βα Аналогично можно показать, что k_αβ = k_βα

В приложениях особую роль играет анизотропия естественных пористых сред, связанная с осадконакоплением. В этом случае проницаемости вдоль слоев имеют одно значение, а в перпендикулярном направлении - другое, обычно значительно меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости - х₃ перпендикулярна плоскости напластования, а две другие - х₁ и х₂ можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Система х₁, х₂, х₃ будет главной системой в каждой точке пористой среды; в этой системе имеем

 

k₁₁=k₂₂=k;  k₃₃=k₀;  k₁₂=k₂₁=k₃₂=k₂₃=k₃₁= k ₁₃=0. (10)

 

Закон Дарси в выбранной  системе координат записывается в силу соотношений (10) следующим образом:

(11)

 

 

1.2. Зависимость  параметров жидкости и пористой  среды

от давления

 

Поскольку движение жидкости в пористой среде вызывается перепадом давления, окончательная формулировка большинства задач теории фильтрации заключается в составлении дифференциальных уравнений для распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных условий. Как при составлении этих уравнений, так и при решении их необходимо знать, как зависят от давления характеристики пористой среды и насыщающей ее жидкости.

1. Рассмотрим прежде  всего влияние давления на  свойства жидкости - плотность r и вязкость m.

Для капельных жидкостей - воды и нефти - изменения плотности  обычно невелики. Встречающиеся в  фильтрационных движениях перепады давления (десятки кгс/см²) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжатия К_r капельных жидкостей (5×10³- 2×10⁴ кгс/см²). Поэтому для приложений достаточно ограничиться линейной зависимостью

(12)

 

Следует, однако, иметь  в виду, что хотя сжимаемость капельных жидкостей и мала, она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захватывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежи обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которой значительно больше объема нефти в залежи; в результате этого расширение воды при снижении давления может полностью компенсировать извлекаемый объем нефти). Зависимостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь.

Фильтрационные движения газа характеризуются тем, что при их исследовании, с одной стороны, почти всегда можно пренебречь изменениями температуры, считая их малыми, а с другой, - тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов считать газ идеальным можно лишь с большой натяжкой. Уравнение состояния газа обычно записывают в виде:

(13)

 

Преимущества такой  записи связаны с тем, что для  функции z (p,T), называемой коэффициентом  сверхсжимаемости, составлены таблицы и графики, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления ее для газовых смесей. Температура в этом уравнении обычно можно считать постоянной и рассматривать как параметр. Отклонение z от единицы (газа от идеальности) значительнее для более тяжелых углеводородных газов.