Министерство  образования и науки Российской федерации

Государственное образовательное учреждение профессионального образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  ФАКУЛЬТЕТ 

Кафедра геометрии 
 
 
 
 

ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ  

Курсовая  работа 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Пермь

2010

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 5

1.1. Немного из истории 5

1.2. Теорема синусов 6

1.3. Решение треугольников с помощью теоремы синусов 13

ГЛАВА II. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 23

2.1. Высоты 23

2.2. Биссектрисы 27

2.3. Медианы 30

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33

ЛИТЕРАТУРА 34

 

ВВЕДЕНИЕ

     В курсе тригонометрии большинство  задач сводится к решению треугольников. Многоугольники, трапеции, четырехугольник  очень легко решить, разбив их на сумму треугольников. Зная вид и свойство полученных треугольников, можно решить задачу. Но если фигура разбита на произвольные треугольники, необходимо обратиться к теореме синусов. Для его применения необходимо, чтобы были известны три элемента треугольника (среди которых по крайней мере одна сторона) и нужно иметь минимум три независимых отношения между элементами данного треугольника.

     В курсовой работе мы будем рассматривать  формулировку и применение теоремы  синусов и ее обобщенного варианта.

     Целью исследования является создание комплекса опорных задач, решаемых с помощью данной теоремы.

     Для достижения цели необходимо решить следующие  задачи:

     -проанализировать литературу, просмотреть учебно-методический материал;

     -создать перечень задач, для решения которых используется теорема синусов;

     -систематизировать эти задачи и составить алгоритмы их решений;

     -отобрать опорные задачи, в основе которых использованы сведения, необходимые для решения однотипных тригонометрических задач.

     Объектом исследования является теорема синусов и ее обобщенный вариант.

     Предметом исследования являются решения задач  в курсе планиметрии с помощью  данных теорем.

     В работе использован аналитический  метод исследования.

     Работа  состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 10 источников. В структуру работы так же входят формулы и рисунки.

     Первая  глава состоит из двух параграфов. В ней представлены формулировки и доказательства теоремы синусов.  Также рассмотрены опорные задачи, решаемые с помощью данной теоремы. Составлен краткий алгоритм решения  этих задач.

     Во  второй главе предоставлены определения  замечательных линий треугольника, их свойства. Предоставлены примеры  задач на нахождение этих линий с  помощью теоремы синусов.

     В заключении приведены выводы и результаты.

 

ГЛАВА I

  ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. Немного из истории

     Начиная с древних времен и примерно до XVII в. в тригонометрии рассматривали почти «исключительно» решение треугольников, т.е. вычисление одних элементов треугольника (или многоугольника, разбитого на треугольники) по другим его элементам.

     Такие вычисления были вызваны запросами  астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры.

     Для решения треугольника необходимо иметь  три независимых соотношения между шестью его элементами. В Евклидовой геометрии одним из них является сумма внутренних углов треугольника.  Кроме этой теоремы в случае косоугольного треугольника можно использовать теоремы косинусов или синусов. Исторически сложилось так, что вторая была доказана Ж.Л. Лагранжем (1799) из теоремы косинусов, а О.Коши наоборот  вывел теорему косинусов из теоремы синусов.

     Ученые  Индии, как отмечалось выше, из стран ислама IX-X вв. сводили решение любых треугольников к решению прямоугольных, а поэтому не нуждались в теореме синусов. Она была доказана лишь в IX в. уроженцем Хорезма астрономом и математиком Абу-р-Райхан Мухаммедом ибн Ахмедом ал-Бируни (973-≈1050). Вместе с теоремой о сумме внутренних углов треугольника теорема синусов  

     представляющая два независимых уравнения, позволяет решать любой треугольник.

     Начиная с XVI в. этой теоремой пользовались и европейские ученые. В «Математических таблицах» (1979) французского математика Франсуа Виета приведена обобщенная теорема синусов: 

     где R – радиус описанной около треугольника окружности.

     Лишь  в XVII в. Содержание тригонометрии значительно расширяется. [3]

     Знание  тригонометрии в современном  мире так же является неотъемлемой частью образования. Геометрия, как  наука, стремительно развивается в  эпоху научно-технического прогресса. А в наше время только школьный курс геометрии включает в себя два раздела: планиметрия и стереометрия. Дети уже в седьмом классе знакомятся с определением и видами треугольников. Тут же они осваивают понятия «биссектриса», «высота» и «медиана». А ученик девятого класса должен уметь решать треугольники: он знакомится с одной из основных теорем планиметрии – с теоремой синусов.

     Данная  глава посвящена именно этой теореме. Здесь мы сформулируем теорему синусов, приведем несколько способов ее доказательства. Так же приведем примеры задач, решаемых с помощью данной теоремы, рассмотрим алгоритмы их решений. Глава состоит  из двух параграфов: «Теорема синусов» и «Решение треугольников с помощью  теоремы синусов».

2. Теорема синусов

     Нередко для нахождения неизвестных элементов  треугольника обращаются к теореме  синусов. Сформулируем ее и докажем. Но для начала систематизируем знания о треугольнике.

     Основными элементами треугольника АВС являются вершины – точки А, В, С, стороны – отрезки а=ВС, в=АС, с=АВ, соединяющие вершины, углы, образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначаются буквами А, В, С [10] (рис1).

      Теорема синусов устанавливает  связь между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Она  утверждает, что длины а, в, с - стороны любого треугольника АВС пропорциональны синусам противолежащих углов, то есть 
 

где R – радиус описанной окружности.

      Подчеркнем, что стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его  внутренних углов, но не пропорциональны  самим углам. Так, в прямоугольном  треугольнике с острыми углами 30º  и 60º синус угла 90º больше синуса 30º в два раза: 1:=2; гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30º, также в два раза. Но угол 90º больше угла 30º в три раза. [9]

     Зависимость между сторонами и углами произвольного  треугольника АВС можно получить, разбив его на прямоугольные треугольники. Опустим из вершины с высоту CH=h, допустим, что она падает на само основание, а не на его продолжение. Тогда, обозначая стороны и углы, как обычно, через а,b,с и АВС, из треугольников АСН и ВСН находим:  

или 

     Такое же равенство, очевидно, верно для  любых двух сторон треугольника. Итак, мы пришли к теореме синусов: 

      Однако, пока она доказана нами только для остроугольного треугольника, а синус тупого угла даже не определен. Например, если угол в тупой, то отношение h/a равно синусу его смежного угла СВН:

       

     Поэтому определим синус тупого угла равным синусу смежного угла:

     sinα=sin(180º-α), тогда теорема синусов будет выполняться для всех треугольников.

     Отношения, входящие в теорему синусов, имеют  простой геометрический смысл. Опишем около треугольника АВС окружность (рис. 5).

      Проведем диаметр BD. Тогда по теореме о вписанном угле, угол BDC равен углу А либо, если угол А тупой, равен 180º «минус» угол А. в любом случае   a=BC=BDsinA=2RsinA

       или 

     где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности. Это «усиленная» теорема синусов.

      Она и объясняет, почему таблицы  хорд древних были по существу таблицами  синусов. [10]

     В [6] приводится следующая формулировка теоремы синусов. Рассмотрим сразу и вариант доказательства.

     Стороны треугольника пропорциональны синусам  противолежащих углов. Доказательство. Пусть АВС – треугольник со сторонами а, в, с и противолежащими углами α, β, γ (рис. 6).

     Докажем, что 

       
 

       Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол α острый, получаем:

     CD=bsinα  (рис. 6, а).

     Если  угол α тупой, то

     CD=bsin(180º-α)=bsinα   (рис. 6, б).

     Аналогично  из треугольника BCD получаем:

     CD=asinβ.

     Итак,     asinβ=bsinα.

     Отсюда            

     Аналогично  доказывается равенство 

     

     Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана. [6]

     Доказательство  обобщенной теоремы приводит Погорелов  А.В. в [7].

     В любом треугольнике АВС

     

     Доказательство. Опишем около треугольника АВС окружность. Пусть Е-точка окружности, диаметрально противоположная точке В окружности. Если точки А и Е лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 7), то углы ВЕС и ВАС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.