Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Пермский государственный технический университет”

Березниковский  филиал

Кафедра технологии и механизации производств 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по дисциплине  «Информатика» 

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Березники 2010

 

    ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

    Особенностью  выполнения курсовой работы является реализация поставленной задачи на персональном компьютере в одной или нескольких программных средах: с помощью  универсального математического пакета MathCad, процессора электронных таблиц Microsoft Excel, в среде программирования Турбо Паскаль.

    Целью курсовой работы является подготовка к последующим этапам учебной деятельности – умению решать инженерные задачи с помощью персональных компьютеров, применять полученные знания в учебной исследовательской работе и в будущем – в дипломной работе.

    В данной работе рассмотрена задача поиска точки локального минимума функции одной переменной методом сканирования. Поиск отрезка, на котором содержится корень, и следовательно, начального приближения корня, выполнен в табличном процессоре Excel. Решение задачи реализовано в среде программирования Turbo Pascal 7.0, полученный результат проверен с помощью универсального математического пакета MathCAD 2000.

 

ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ

 

    Номер в списке: 27 (метод сканирования).

    Сумма первых трех цифр номера зачетной книжки равна 13. 

    Задание:

    Найти точку локального минимума функции  одной переменной с точностью методом сканирования. Для решения задачи использовать одну из двух программных сред: процессор электронных таблиц Microsoft Excel или среду программирования Turbo Pascal. Для уточнения и сравнения результатов вычисления выполнить решение задачи, используя возможности и средства универсального математического пакета MathCAD.

МЕТОД СКАНИРОВАНИЯ

 

    Если  функция    дважды дифференцируема на отрезке , и    в любой точке этого отрезка, то – унимодальная функция на .

    Пусть функция y=f(x) является унимодальной на некотором промежутке. Предположим, что произвольная точка этого промежутка является исходной для поиска точки - локального минимума и число – заданная точность нахождения .

    Обозначим через  произвольное приращение аргумента х и, сделав один шаг от точки , получим новое значение аргумента  .

    Сравним значения функции  и . Возможны три различных продолжения в приближении к точке :

1) - произошло уменьшение значения функции. Тогда примем в качестве нового стартового  значения  , и сделаем шаг от этой точки к точке , т.е. . Если окажется , то снова сделаем шаг от новой стартовой точки , и т.д.

    На  некотором k-м шаге произойдет увеличение значения функции, т.е. , и если при этом , то принимаем . В противном случае полагаем, что точка является исходной для продолжения вычислений по следующей схеме II.  

2) - значение функции возросло. В этом случае полагаем, что начальной  точкой  вычислений  является  точка  ,  а меньшим шагом в продолжении счета – величина , где – некоторое положительное число, . Далее производим вычисления по схеме 1 или 2, вплоть до достижения заданной точности. 

3)  . В этом практически маловероятном случае  (опущенном при рассмотрении случаев I и II) естественно либо принять при достижении заданной точности , либо следовать схеме II.  

    Поиск минимума функции  одной переменной  указанным методом представляет  собой  колебательный  процесс,  совершающийся  около  точки локального минимума функции с непрерывно меняющейся амплитудой. В  некоторых  модификациях  данного  метода  при  получении “удачного” шага его значение увеличивают, т.е. , однако это часто приводит к потере сходимости алгоритма, поэтому данную операцию можно считать целесообразной лишь на первых шагах алгоритма при большом удалении от точки оптимума.

    Первые  несколько  шагов  сканирования  также  можно использовать  для поиска отрезка унимодальности для описанной ниже группы методов последовательного сокращения отрезков, имеющих хорошую сходимость.

 

КРАТКИЙ ОБЗОР  ПРОГРАММНЫХ СРЕД

 

    1. Microsoft Excel – самый популярный на сегодняшний день табличный редактор. Он позволяет легко оперировать с цифрами, обладает удобным интерфейсом, является программным средством для проектирования электронных таблиц. Поддерживает все необходимые функции для создания электронных таблиц любой сложности. Занимает ведущее положение на рынке. Последняя версия использует открытый формат XLSX, более ранние версии использовали формат XLS. Доступен под Windows и Macintosh.  

    2. Turbo Pascal – Процедурно-ориентированный язык. Усовершенствованная версия языка Pascal, изобретенного еще в 60-х годах. В настоящее время используется в качестве учебного языка во всех высших и средних учебных заведениях, а также в школах. Этот язык знает любой программист. На основе синтаксиса Паскаля были созданы другие более функциональные языки, но уже с объектно-ориентированным принципом программирования (Object Pascal, Delphi). 

    3. MathCad – это многофункциональная интерактивная вычислительная система, позволяющая, благодаря встроенным алгоритмам, решать аналитически и численно большое количество математических задач, не прибегая к программированию. Рабочий документ Mathcad – электронная книга с живыми формулами, вычисления в которой производятся автоматически в том порядке, в котором записаны выражения. Отличается простым и удобным интерфейсом, написанием выражений стандартными математическими символами, хорошей двух- и трехмерной графикой, возможностью подключения к распространенным офисным и конструкторским программам, а также к Internet.

    Интегрированная среда содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор. Текстовый редактор предназначен для ввода и редактирования текстов. Текст может представлять собой обычные символы, математические выражения или формулы, спецзнаки. Система MathCad использует общепринятую в математике символику.

    Вычислитель обеспечивает работу со сложными математическими  формулами, имеет большой набор  встроенных функций, позволяет вычислять  ряды, суммы и произведения, определенные интегралы и производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, выполнять векторные и математические операции.

    Графический процессор служит для создания графиков. Можно строить простые графики  от одного до нескольких одновременно, графики трехмерной поверхности, возможно изменение размеров графиков и прочее.

    АЛГОРИТМ  РЕШЕНИЯ

    1. Поиск отрезка,  содержащего локальный минимум, в Excel

 

    С помощью программы Microsoft Excel найден отрезок, содержащий локальный минимум функции , и выбрано начальное приближение данного корня (см. рис. 1).

    Для этого в столбце А введем значения аргумента Х, начиная с -3 с шагом 0,2. в столбце В рассчитаем значения функции при соответствующих  значениях аргумента. Для этого введем в строке В2 формулу: «=1+СТЕПЕНЬ(СТЕПЕНЬ(A2-0,5;2);1/3)» и скопируем ее для остальных аргументов Х.

Рис.1. Поиск  начального приближения корня в  Excel 

    Из  рисунка 1 видно, что локальный минимум  функции содержится на отрезке  .

    При решении задачи рассмотрены 2 варианта выбора начального приближения: справа и слева от локального минимума функции.

 

     Выбраны следующие значения:

1) - слева от локального минимума (функция убывает, т.е. );

2) - справа от локального минимума (функция возрастает, т.е. ).

    2. Программа в Turbo Pascal

 

    В среде программирования Turbo Pascal 7 разработана программа, выполняющая поиск точки локального минимума функции методом сканирования. Расчеты производятся до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений. Результаты выполнения программы показаны на рисунке 2. Исходный текст программы приведен в приложении 1. В таблице 1 приведены результаты поиска локального минимума для двух вариантов выбора начального приближения .

    Для того, чтобы в Pascal возвести число в дробную степень, сделаем следующее преобразование: . Т.к. область определения логарифма , то запишем функцию следующим образом: . 

Рис. 2. Результаты поиска локального минимума в Turbo Pascal

при начальном  приближении 

 

    Таблица 1

      Сравнение результатов поиска локального минимума для разных

 

    Из  таблицы 1 видно, что при выборе начального приближения слева понадобилось меньшее число итераций (т.к. функция на отрезке поиска минимума все время только убывает). Большее число итераций при выборе начального приближения справа объясняется тем, что на первой итерации согласно алгоритму метода шаг уменьшается в раз.

    2. Проверка результатов в пакете MathCAD

 

    Для уточнения и сравнения результатов, локальный минимум также вычислен с помощью пакета MathCAD (см. рис.3).

    С помощью встроенных функций пакета MathCAD решается задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный минимум, требуется сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее наименьших значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Для поиска локального минимума имеется встроенная функция, которая может применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно:

     - вектор значений аргументов, при которых функция достигает минимума;

    где:

      - функция;

     - аргументы, по которым производится минимизация.