Розв’язування задач сфероїдної геодезії

 
                                              

                                                             1:1 000 000

 

Одна трапеція масштабу 1:100000 поділяться на 4 трапеції масштабу 1:50000 і кожній з них присвоюється номенклатура за літерами А, Б, В, Г. Для сторін трапеції масштабу 1: 50000 різниця широт різниця довгот Ділення окремої трапеції масштабу 1: 50000 на трапеції крупніших масштабів проводиться у відповідності з діючими правилами розграфки листів карт заданих масштабів.

 

 

 

    

P-43-138

 

 
                       1:100000

 

 

        P-43-138-A

 60°20′ 

 

 

 

                      

 

                                                                1:50000

 За геодезичними  координатами точки, розташованої на поверхні земного еліпсоїду, можна визначити її приналежність листу карти чи знімальній трапеції будь-якого потрібного масштабу за геодезичними еоординатами вершин та сторін цієї трапеції.

 

 

 

 

Вихідні дані

ВА
LA

 

 

Сталі величини

а	6378245 м				0,00669342					57,29577951
А	1,00336361	В		0,00112403		С	0,00000170		b		6356863,019 км

 

Номенклатура  листа карти масштабу 1: 50000  N-36-135-Б

Геодезичні  координати сторін трапеції

В1		60,16666667
В2		60,33333333
L1		74,5
L2		74,75

 

 

Обчислення  довжин сторін трапеції за формулами (1), (2), (3), (4).

Позначення  дій	Результати	Позначення  дій	Результати
	0,997478371		0,997469962
	6394369,224		6394423,133
а1	13880,004	а2	13809,658
а1 ( см карти)	27,76	а2 (см карти)	27,62
	60,25
	0,997474163
	6383803,988
с ( м )	18569,733	d ( м )	23162,752
с( см карти )	37,14	d (см карти )	46,33

 

 

Обчислення  площі трапеції за формулою ( 5 )

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	352641,2223		0,00072414
	-0,00000490		0,00000001
Р ( км2 )	257,0950	Р ( га )	25709,50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Наближене розв’язування трикутників за теоремою Лежандра

Завдання. Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N – номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямків у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними. Отже, їх можна розв’язувати за правилами сферичної тригонометрії.

Сферичний трикутник                                                   Плоский трикутник

 

 

 

 

 

 

Теорема Лежандра:  Малий  сферичний трикутник АВС можна  розв’язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку:

                                                       

Кути  А, В, С називають  плоскими приведеними кутами. Величину називають сферичним надлишком трикутника. Оскільки , то   Тому слід розглядати як різницю сум кутів сферичного і плоского трикутників.

Якщо розв’язування  сферичного трикутника розпочинати  за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев’язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправки , де нев’язка . Далі за обчисленими плоскими приведеними кутами та довжиною вихідної сторони трикутник розв’язують на основі теореми синусів плоскої тригонометрії:

                                         

 

 

Вихідні дані

Результати  вимірів кутів

№ трикутника	Позначення  кутів	Виміряні сферичні кути
1	А1
	В1
	С1
2	А2
	В2
	С2

 

Довжина вихідної сторони		7500
Середня широта	Bm	49,76697531

 

Сталі величини

b

6356863,019 м

0,00669342

57,29577951

 

 

 

Робочі формули

            Радіус сфери             6381561,79947 м

Трикутник №1

                    

                                 

Трикутник №2

                    

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відомість наближеного розв'язування трикутників
№тр.	Вершини	Виміряні сферичні кути			-w/3	Виправлені  сферичні кути			-ε/3	Виправлені  плоскі кути			Синуси кутів	Довжини сторін
		grad	min	sek		grad	min	sek		grad	min	sek
1	С	49	59	51,2	-0,91592	49	59	50,28408	-0,0474166	49	59	50,23667	0,766014017	7500
	В	51	33	2,51	-0,91592	51	33	1,594083	-0,0474166	51	33	1,546667	0,783155768	7667,834
	А	78	27	9,18	-0,91592	78	27	8,264083	-0,0474166	78	27	8,216667	0,979758325	9592,758
	∑1	180	0	2,89	-2,7478	180	0	0,14225	-0,14225	180	0	0
	ε1			0,142
	w1			2,748
2	D	59	25	19,1	-0,58412	59	25	18,51588	-0,06588	59	25	18,45	0,860935572	9592,758
	B	51	46	48,52	-0,58412	51	46	47,93588	-0,06588	51	46	47,87	0,78564059	8753,803
	C	68	47	54,33	-0,58412	68	47	53,74588	-0,06588	68	47	53,68	0,932312721	10388,060
	∑2	180	0	1,95	-1,7523	180	0	0,1977	-0,1977	180	0	0
	ε2			0,198
	w2			1,752

 

Відомість наближеного роз’язування трикутникі 

         5. Наближене розв’язування трикатників способом аддитаментів

 

Завдання. Розв’язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N – номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Сторони сферичного трикутника АВС  можна виразити в частинах радіусу R кривизни поверхні сфери через виміряні кути А, В, С, і вихідну сторону а за теоремою синусів співвідношеннями такого вигляду:

 

 

для  сторони b                   

       для   сторони c         

 

 

Якщо синуси сторін розкласти в  тригонометричний ряд, то після спрощення  виразів з точністю малих величин  до четвертого порядку отримаємо:

         для  сторони b        

         для   сторони c       

Величини   називають аддитаментами. Аддитаменти – це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв’язувати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже,

         для сторони b        

         для   сторони c       

 

 

Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розраховувати  за приблизними значеннями їх довжини

       Якщо  розв’язування сферичного трикутника  розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев’язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен де нев’язка - сферичний надлишок.

 

Вихідні дані

Результати  вимірів кутів

№ трикутника	Позначення  кутів	Виміряні сферичні кути
1	А1
	В1
	С1
2	А2
	В2
	С2

 

Довжина вихідної сторони		7500
Середня широта	Bm	49,76697531