Системы координат и преобразования между ними

 
 
 

    2.3 Система плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера 
 

    Любая система плоских прямоугольных  координат связана с изображением поверхности эллипсоида на плоскость (рис.4).

    x=f₁(B, L);

    y=f₂ (B, L).

    

    Рисунок 4 - Система плоских прямоугольных координат 
 

    х=О₁К₁; у=О₁К₂.

    Использование результатов топографо-геодезических работ в инженерных целях существенно облегчается, если эти результаты отнесены к простейшей — прямоугольной системе координат на плоскости. В этой системе многие геодезические задачи на небольших участках местности и на картах (планах) решаются путем применения простых формул аналитической геометрии на плоскости. Так как поверхность земного эллипсоида, к которой относятся результаты геодезических и съемочных работ, не развертывается в плоскость, то ее проектируют на плоскость по определенным законам.

    Закон изображения одной поверхности  на другой называется проекцией. Для  геодезических целей предпочитают проекции, обеспечивающие медленное нарастание в них искажений элементов геодезических построений при постепенном увеличении площади проектируемой территории. Особенно важным является требование, чтобы в проекции обеспечивались высокая точность и удобство учета этих искажений, причем по наиболее простым формулам, этим требованиям удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгера, для применения которой поверхность земного эллипсоида делят на зоны, заключенные между двумя меридианами с разностью долгот 6 или 3°.

    Осевые  меридианы шестиградусных зон совпадают  с центральными меридианами листов карты масштаба 1:1 000 000. Порядковый номер зоны определяется по формуле

    n=N — 30, (1)                                      

    где N — номер колонны листа карты масштаба I: 1000 000.

    Долготы осевых меридианов шестиградусных зон определяются по формуле

       L₀ = 6 n — 3,  (2)                                      

    где n — номер зоны.

    Прямоугольные координаты х, у в пределах зоны вычисляются относительно экватора и осевого меридиана, которые изображаются прямыми линиями (рис. 5.). В пределах территории СССР  абсциссы координат Гаусса — Крюгера положительные; ординаты положительные к востоку, отрицательные — к западу от осевого меридиана. Чтобы избежать отрицательных ординат, точкам осевого меридиана условно приписывают значение у = 500 000 м с обязательным указанием впереди номера соответствующей зоны.

      
 
 
 
 
 
 

Рисунок 5 - Прямоугольные координаты х,у

         

    Рисунок 6 - Стороны треугольника с вершинами построенного на эллипсоиде (а) и их изображение на плоскости в виде кривых (б). 

    В конформной проекции углы треугольников триангуляции не искажаются,    т. е. остаются    такими же, как на поверхности земного эллипсоида.  Масштаб    изображения линейных элементов на плоскости постоянен в данной точке и не зависит от азимута этих элементов; линейные искажения на осевом меридиане равны нулю и постепенно возрастают по мере удаления от него; на краю шестиградусной зоны они достигают наибольшей величины, равной  1 : 1000, а на краю трехградусной зоны — 1: 5000.

    Все линии на поверхности земного  эллипсоида, за исключением осевого меридиана и экватора, изображаются на плоскости кривыми. Так, например, стороны треугольника с вершинами 1, 2, 3, построенного на эллипсоиде (рис. 6,а), изобразятся на плоскости в виде кривых (рис. 6,б).

    На  рис. 6, а приняты следующие обозначения: ОР — осевой меридиан зоны, долгота которого равна L₀; E1P — геодезический меридиан точки 1, имеющей геодезические координаты В₁, L₁; l = L₁—L₀ — долгота точки 1 относительно осевого меридиана; А₁₂— геодезический азимут направления 1—2.

    На  рис. 6, б показано изображение в конформной проекции тех же линий и треугольника, что и на рис. 5, а: О'Р' — осевой меридиан зоны; E'1P' — геодезический меридиан точки 1, имеющей плоские прямоугольные координаты х ₁, у_1; α₁₂ — дирекционный угол хорды S₁₂, стягивающей концы изображения стороны треугольника между точками 1 и 2; Р"1 — линия, проходящая через точку 1 параллельно осевому меридиану зоны; γ₁ — гауссово сближение меридианов в точке 1.

    В связи с тем что в конформной проекции стороны треугольников изображаются на плоскости кривыми линиями, мы не можем пока применить простые формулы аналитической геометрии для решения геодезических задач. Необходимо криволинейные стороны треугольника на плоскости заменить хордами. Кроме того, надо иметь формулы, позволяющие вычислить с необходимой точностью плоские прямоугольные координаты х, у исходного пункта в точке 1 по его геодезическим координатам — широте В и долготе L. Нужны также формулы для обратного перехода от х, у к В, L в целях контроля правильности преобразования координат из одной системы в другую. Наконец, для вычисления координат х, у других вершин треугольника 1, 2, 3 (рис. 6, б) по  формулам

                 х_k = х_i + s_ik cos a_ik;                 у _k = у_i + s_ik sin a_ik                           (3)

    надо  определить дирекционные углы a_ik и длины сторон s_ik на плоскости.

    Вследствие  конформности  проекции геодезический  азимут на плоскости можно согласно рис. 6, б представить в виде

                                           A_{ik =} a_ik + γ_i - δ_ik,                                      (4)

    где γ_i — гауссово сближение меридианов в i-й точке, a_ik — дирек-ционный угол хорды ik на плоскости, δ_ik — угол между криволинейной стороной ink треугольника на плоскости и ее хордой ik. Отметим, что углы γ, а и δ отсчитываются по ходу часовой стрелки, как положительные величины: угол γ — от изображения меридиана до направления оси х, угол a — от оси х до хорды и угол δ — от криволинейной стороны ink до хорды ik. Дирекционный угол хорды ik равен

                                                   a_ik = A_ik — γ_i + δ_ik.                                        (5)

    Отсюда  видно, что для вычисления дирекционного  угла а_ik исходной стороны надо знать гауссово сближение меридианов γ_i и поправку δ_ik за кривизну изображения стороны треугольника на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера или, другими словами, редукцию горизонтального направления.

    Надо иметь формулы для перехода от длины линии S на поверхности земного эллипсоида к проекции этой линии s на плоскости. Таким образом, для математической обработки геодезических сетей на плоскости в проекции Гаусса — Крюгера необходимо:

1. От геодезических координат исходных пунктов сети перейти к плоским прямоугольным координатам проекции этих пунктов. В целях контроля следует решить обратную задачу: по прямоугольным координатам вычислить геодезические.
2. От исходных длин и геодезических азимутов сторон на поверхности земного эллипсоида перейти к длинам и дирекционным углам этих сторон на плоскости.
3. Все измеренные направления, редуцированные на поверхность земного эллипсоида, исправить поправками за кривизну изображения сторон на плоскости.

    В том случае, когда геодезическая  сеть охватывает район двух смежных  зон, возникает необходимость преобразования прямоугольных координат из одной зоны в другую.

    Ниже  приводятся примеры решения указанных  задач применительно к эллипсоиду Красовского, принятому для математической обработки геодезических измерений в СССР и социалистических странах.

    Параметры эллипсоида Красовского:

    большая полуось    а = 6 378 245,000 м

    малая полуось     b = 6 356 863,019 м

    полярное  сжатие    а= (а – b)/ а =1 : 298,3 = 0,0033523299

    квадрат первого эксцентриситета

    е² = (а² — b ²)/а² = 0,0066934216; 

    квадрат второго эксцентриситета

    е'² = (а² — b²)/b² = 0,0067385254. 

    Преимущества:

• позволяет упростить решение всех геодезических задач;
• позволяет однозначно определить положение точки внутри зоны.

 

 Недостатки:

• координаты x, y задают положение точки только внутри зоны;
• затрудняется обработка измерений на объекте расположенном на 
• стыке двух зон или в нескольких зонах.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

  3.1 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 

                СК – 95                        ПЗ – 90                       СК - 42

    

    Рисунок 7 - Технологическая схема преобразования координат 
 
 
 

                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3.1.1 Вычисление пространственных прямоугольных  координат в системе ПЗ-90 по геодезическим координатам

N=a/(√1-e² *sin B) ;                                                                                              (1)

X´ = (N+H)*cosB*cosL ;                                                                                      (2)

Y´= (N+H)*cosB*sinL ;                                                                                        (3)

Z´= (N*(1-e²)+H)*sinB .                                                                                       (4)

    [ПРИЛОЖЕНИЕ  А] 

    3.1.2 Определение пространственных прямоугольных координат в системе СК-42 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90 

    X1= X’-∆m*X-ξz″/ρ″*Y’+ξy″/ ρ″ *Z’-x;                                                    (1)

    Y1= Y’-∆m*Y’-ξx″/ρ″*Z’+ξz″/ ρ″*X’-y;        (2)

    Z1= Z’-∆m*Z’-ξy″/ρ″*X’+ξx″/ ρ″*Y’-z;                                                     (3)

      [ПРИЛОЖЕНИЕ Б] 

    3.1.3 Определение пространственных прямоугольных координатв системе СК-95 по пространственным прямоугольным координатам в системе ПЗ-90

    X =X’-x₁ ;                                                                                                 (1)        

    Y =Y’-y₁ ;                                                                                                 (2)          

        Z =Z’-z₁ ;                                                                                                 (3)           

    [ПРИЛОЖЕНИЕ  В] 
 

    3.1.4 Вычисление геодезических координат в системе ПЗ-90по пространственным прямоугольным координатам 

tg L = x  ;       (L-долгота)                                                     (1)                                                                       

Q=√X² + Y² ;                                                                         (2)                                                               

tgB⁽ⁱ⁾=Z/(1-e²)*Q;                                                                 (3)