Экономико-математические методы и прикладные модели

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Кафедра экономико-математических методов и моделей

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Контрольная работа

студентки ФНО

личное дело

                                         Преподаватель: Гармаш А.Н.

Москва 2010

1.1. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед.  На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

              Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

1.Создадим таблицу на основе условий задачи.

Обозначим через xj . j=1,2 – оптимальное количество гектаров культуры j-го вида. Запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки».

max (90x1+360x2)

при ограничениях

200x1+100x2 ≤ 60000        –ограничения по расходам на сев и уборку

30x1+60x2 ≤ 21000            –ограничения по вместимости зерна на складе

x1+x2 ≤ 400                        –ограничения по площади засевов

x1,2 ≥ 0                                – прямое ограничение

              Эта ЗЛП с двумя переменными, а значит, мы можем ее решить графическим методом.

1. Построим ОДР задачи. Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в I четверти Декартовой системы координат.

              Функциональные ограничения – неравенства определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей (в данном случае нижних) с граничными прямыми.

              Проведем прямые функциональных ограничений:

I. 200x1+100x2 = 60000

II. 30x1+60x2 = 21000

III. x1+x2 = 400

2x1+x2 = 600

x1=0                x2=0

x2=600            x1=300

x1+2x2 = 700

x1=0                x2=0

x2=350            x1=700

x1+x2 = 400

x1=0                x2=0

x2=400            x1=400

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину   (3,6) с началом координат О (0,0).

3. Построим некоторую линию уровня 3x1+6x2 = а. Пусть, например, а=0. Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору – градиенту. 4. 

4. При максимизации предельной точкой движения линии ОХ являются точка А. Определим координаты точки А: (0; 350)

              Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает значение при x1=0, x2=350. Максимальное значение равно f(x1, x2)=90*0+360*350=126 000 ден.ед.

              При минимизации предельной точкой движения линии ОХ является точка О(0,0), т.е. чтобы получить минимальную прибыль, фермеру ничего не нужно делать (0 га кукурузы и 0 га сои). Таким образом, задача теряет экономический смысл.

Задача 2

2.4. Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1)     Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2)     Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3)     Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4)     На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-         проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-         определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 единиц каждого;

-         оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья и изделия "Д" ценой 12ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Обозначим через xj . j=1,3 – объем производства j-го вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки».

max(10x1 + 14x2 + 12x3)

4x1 + 2x2 + x3 ≤ 180      – ограничение по запасам сырья I типа

3x1 + x2 + 2x3 ≤210       – ограничение по запасам сырья II типа

x1 + 2x2 + 3x3 ≤244       – ограничение по запасам сырья III типа

xj ≥ 0, j=1,2,3                – прямое ограничение

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемого в производстве сырья.

Средствами Excel найден оптимальный план по критерию «максимум выручки», предусматривающий выпуск 74 единиц продукции первого вида и 32 единиц третьего вида.

              Проверим, как удовлетворяется система функциональны ограничений оптимальным планом Х* (x1=0, x2=74, x3=32)

4*0 + 2*74 + 32 = 180     

0 + 74 + 2*32 =138<210                                                                              *

3*0 + 2*74 + 3*32 =244

              Значение целевой функции на этом этапе равно f(x)=10*0+14*74+12*32=1420

              Для проведения экономико-математического анализа оптимального плана с помощью теорем двойственности определим двойственные оценки, т.е. найдем решение двойственной задачи. Построим задачу, двойственную к исходной.:

min(180y1+210y2+244y3)

4y1+3y2+y3≥10 оценка затрат производственных ресурсов на единицу выпуска продукции I вида

2y1+y2+2y3≥14 оценка затрат производственны ресурсов на единицу выпуска продукции  II вида

y1+2y2+3y3≥12 оценка затрат производственны ресурсов на единицу выпуска продукции III вида

yj≥0, j=1,2,3  - прямое ограничение

              Для нахождения оценок y1, y2, y3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y2 = 0. Так как x2>0 и x3>0, то:

y2 = 0

2y1+y2+2y3≥14

y1+2y2+3y3≥12 , т.е. y3 = 2,5, y1 = 4,5

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

, т.е.

              По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных:

3. Один из трех видов выпускаемой продукции в оптимальном плане равен нулю. Это означает, что производство этого вида продукции невыгодно и в данных условия не принесет максимальной выручки. В оптимальном плане двойственной задачи y2 также равен 0. Это означает, что данный ресурс избыточен.

4.1. Так как показатель второго типа сырья равен 0, этот ресурс избыточен на 72 единицы (210-138); дефицитным является третий тип сырье, так как показатель равен 2,5, но наиболее дефицитным является первый тип сырья, показатель которого равен 4,5.

4.2. Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

4x1 + 2x2 + x3 ≤ 184     

3x1 + x2 + 2x3 ≤210      

x1 + 2x2 + 3x3 ≤248

xj ≥ 0, j=1,2,3   

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях

X=(x1=0, x2=76,x3=32)

Прибыль, соответственно, составит 1448 у.е., то есть увеличится на 28 у.е. Правильность этих даны подтверждают результаты оптимизации в Excel:

4.3. С учетом того, что на производство предполагаемого нового вида продукции Г требуется одна единица I типа сырья, 3 единицы II типа сырья, 2  единицы III типа сырья, а его предположительная стоимость равно 13 у.е., имеем:

1*4,5+3*0+2*2,5-13= –3,5 < 1 , то есть прибыль на 3,5 у.е. больше затрат, следовательно включение в план данного изделия выгодно.

              С учетом того, что на производство предполагаемого нового вида продукции требуется по 2 единицы каждого типа сырья, а его предположительная стоимость равно 12 у.е., имеем:

2*4,5+2*0+2*2,5–12= 2 > 1, то есть прибыль на 1 у.е. меньше затрат, следовательно включение в план данного изделия невыгодно.

Задача 3

3.4. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

В соответствии с номером Вашего варианта ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1