Экономико-математические методы и прикладные модели

Министерство  образования и  науки РФ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа 

по дисциплине: «Экономико-математические методы и  прикладные модели» 

Вариант № 10 
 
 
 
 
 

     Исполнитель:

     Специальность: Финансы и Кредит

     Группа: 3 курс (2 поток)

     №зачетной книжки:

                                          Руководитель:  
 
 
 
 

Краснодар 2009 г.

 

Оглавление

 

Задача 1.

Решить  графическим методом типовую задачу оптимизации.

 

      Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,3 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует, производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение.

 

Экономико-математическая модель задачи:

Введем переменные: Х₁ – объем производства напитка «Лимонад», Х₂- объем производства напитка «Тоник».  

 

Введем целевую  функцию: F(X) = 0,1 x₁+0,3 x₂ max

Вводим ограничения:

0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ 16;

х_1,2 0.

Первое  ограничение (по времени работы оборудования) имеет вид: 0,02х₁ + 0,04 х₂ 24. Находим пересечение с осями координат. Прямая 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24 проходит через точки (1200;0) и (0;600). Второе ограничение (по расходу ингредиента) имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ 16. Найдем пересечение с осями координат. Прямая 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16 проходит через точки (1600;0) и (0;400). Решением этих неравенств системы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. В результате пересечения построенных полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых значений данной задачи. (рис. 1.)  

Рис. 1. Область допустимых значений.  

Построим вектор-градиент. Начало вектора совпадает с началом координат. Построим линию уравнения, перпендикулярную вектору – градиента: 0,1x₁+0,3x₂ = 0. При максимизации функции движемся в направлении вектора-градиента.

Реши систему уравнений:

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16

Получаем: x₁ = 800; x₂ = 200. При этих значениях f_max = f (800;200) = 0,1*800 +0,3*200=140.

Ответ.

     Для получения максимальной ежедневной прибыли 140 ден.ед. необходимо производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника». При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу.

 

Задача 2.

Использовать  аппарат теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

     Для изготовления трех видов продукции  используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

    Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• Определить, как изменится выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы;
• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 единиц.

Решение.

 

1. Сформулировать  прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем  переменные: Х₁ – норма расхода ресурсов на ед.продукции I вида; Х₂ – норма расхода на ед.продукции II вида; Х₃ – норма расхода на ед.продукции III вида.

Введем целевую  функцию: F(X) = 6 x₁+10 x₂ + 9 х₃ max

Вводим ограничения:

  3 х₁ +   6 х₂ +   4 х₃ 2000

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 15000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ 7400

              3 х₂ +   5 х₃ 1500

х_1,2,3 0 

Для решения  задачи воспользуемся программой Excel. Сначала необходимо ввести исходные данные, далее устанавливаем зависимость для целевой функции. После этого вводим зависимости для ограничений и запускаем команду поиск решений (рис. 2.) 

Рис. 2. Поиск решения.  
 

В результате данного решения было выявлено, что  для получения максимальной прибыли в размере 4110 ден.ед. фирма должна производить 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции II вида. Также было выявлено, что сырья 1 понадобиться лишь 12 600, вместо 15 000, а оборудования задействовано лишь 550, вместо 1500. Трудовые ресурсы и сырье 2 будет использовано полностью (рис. 3).

Рис. 3. Результаты поиска решения.  

В отчете по результатам (рис. 4.) содержатся оптимальные  значения переменных х₁, х₂, х₃, которые равны 520;0;110 соответственно; значение целевой функции (4110 ед.), а также левые части ограничений.

* = (520;0;110) 

Рис. 4. Отчет по результатам  решения.  

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти ее оптимальный  план с помощью теорем двойственности.

Вводим  переменные: исходная задача содержит 4 ограничения: по труду, по сырью 1, по сырью 2, по оборудованию. Следовательно, в двойственной задачи – 4 переменные.

y₁ – двойственная оценка ресурса «Труд»

y₂ – двойственная оценка ресурса «Сырье 1»

y₃ – двойственная оценка ресурса «Сырье 2»

y₄ – двойственная оценка ресурса «Оборудования»

Целевая функция двойственной задачи формулируется  на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

G(Y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ min

Требуется определить такие «цены» на типы ресурсов (y_i), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Вводим ограничения. В исходной задаче 3 переменные, следовательно, в двойственной задачи 3 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y₁ + 20 y₂ + 10 y₃           6

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ 10

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ 9 

Определим оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы  двойственности

, тогда

y₁(  3 х₁+    6 х₂+    4 х₃ – 2000)   = 0;

y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 15000) = 0;

y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ – 7400)   = 0;

y₄(              3 х₂ +   5 х₃ – 1500)   = 0.

Подставим оптимальные значения вектора  * = (520;0;110) в полученные выражения:

y₁(3*  520+    6*0+   4*110   – 2000)   = 0;

y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 – 15000) = 0;

y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 – 7400)   = 0;

y₄(3 *     0 +   5*110              – 1500)   = 0.

Следовательно:

y₁(2 000- 2 000) = 0;