Экономико-математические методы и прикладные модели

     = = = 6,7;  

     В нашей случае число наблюдений равно 9, следовательно критическое значение критерия Ирвина равно 1,5 (табличное значение). Аномальных явлений не наблюдается т.к. все < 1,5.

      

2. Построить линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

 

     Чтобы построить линейную модель, воспользуемся Анализом данных в MS Excel (рис. 6). 

Рис. 6. Регрессия.  

      Результат анализа представлены в виде таблиц (рис. 7.)

Результаты  регрессионного анализа

Рис. 7. Результаты регрессионного анализа.

      II столбец отражает коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁; III – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, IV – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

      Уравнение регрессии зависимости спроса на кредитные ресурсы ( ) от времени (t_t) имеет вид Y_t = 31,33+2,40t (рис. 8). Угловой коэффициент а₁ = +2,4 уравнения показывает, что за 1 неделю спрос на кредитные ресурсы банка увеличиться в среднем на 2,40 млн. руб. 

Рис. 8. Вывод остатка.  

Рис. 9. График подбора.  
 

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение  параметра сглаживания α.

Воспользуемся формулой:

^

Y_t = а₀ + а₁* t

а_0(t) = a0_{(t -1)} + а_{1(t - 1)} + (1 - β²) * е_(t).

a_1(t) = а1_{(t -1)} + (1 - β²) * е_(t).,   

             ^

е_(t) = Y₁ – Y₁    

     Расчетная таблица для получения оценок параметров  

 

     По  первым пяти точкам ряда оцениваем  значения а₁ и а₀ параметров модели с помощью метода наименьших квадратов получим:

a₁₍₀₎ =3,0;  a₀₍₀₎ = 38,8 – 3,0 * 3 = 29,8.

При α = 0,4; k = 1; β =1 – 0,4 = 0,6.

Получаем расчетную таблицу для построения модели Брауна с параметром сглаживания α = 0,4.

 

При α = 0,7;   k = 1,   β = 1 - 0,7 = 0,3 .         

Получаем расчетную  таблицу для построения модели Брауна с параметром сглаживания α = 0,4. 

         

При значении параметра сглаживания α = 0,4: Eотн = 0,25/9• 100% = 3% 

При значении параметра сглаживания α = 0,7: Eотн = 0,36/9• 100% = 4%

Следовательно, лучшее значение параметра сглаживания  α = 0,4. 

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения, то модель считается адекватной.

С помощью  d – критерия Дарбина – Уотсона отсутствие корреляции на основании таблицы Вывод остатка (рис. 8.)

     

      

        

     0        d₁ d₂ 2 

            1,08    1,36

От 0 до 1,08 – область зависимости,

От 1,08 до 1,36 – область неопределенности,

От 1,36 до 2 – область независимости.

Если  d>2, то d/=4-d=4-2,4=1,6

Найденное значение d>2 попало в область независимости (от 1,36 до 2). Таким образом, по данному критерию свойство независимости выполняется.

На основании  поворотных точек проведем проверку случайности уровней ряда остатков.

P > [ (n-2) – 1, 96 ] =

Для n=9, р = 5, т. к. р=5 (p>2), то остаточная компонента является случайной. 

Рис. 10. График остатков.

Соответствие  ряда остатков нормальному закону распределения  определим при помощи RS – критерия:

, где

- максимальный уровень ряда  остатков,

  - минимальный уровень ряда  остатков,

     - среднеквадратическое  отклонение,

,    

 

Расчетное  значение принадлежит данному интервалу  (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальной распределения. Модель по этому критерию адекватна. 

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн:

= % 

    Т. к  Е_отн ≤ 5%, точность модели высокая. 

6. По двум построенным моделям осуществить  прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Для вычисления точечного прогноза в построенную  модель подставляют соответствующие значения фактора t = n + k