Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

Оптимальный план : X = (75; 330; 0; 0 )

Суммарная стоимость  продукции :     mаx f(Х) = f(75; 330; 0; 0 ) = 2655

Как видно  из таблицы ЕХСЕl- с результатами расчёта, сокращение объема ресурса № 1 и увеличение объемов ресурсов №2 и №3 позволяет увеличить суммарную выручку. Однако в структуре номенклатуры оптимального плана выпуска продукции (при котором выручка максимальна) - нет изменений. По - прежнему в план входят изделия "А" и "Б", но не входят изделия "В" и "Г" (Х₃ и Х₄).Причина этого - прежняя (цена изделий "В" и "Г" слишком низка). Поэтому ресурсы расходуют на те изделия, производство которых выгодно. Также нужно заметить, что в оптимальном плане снизилось число изготавливаемых изделий "А" (75 вместо 95), зато возросло число изделий "Б" (330 вместо 210). Таким образом, данное изменение запасов ресурсов увеличивает суммарную выручку.

4.3. Определить целесообразность  включения в  план изделия  "Д" ценой  10 ед., на  изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

В таблице  ЕХСЕL  добавим еще одну переменную, отражающую данные о новом изделии "Д". Также надо внести коррективы в условия (ограничения), чтобы учесть о количестве ресурсов, расходуемых на производство изделия "Д".

                 
 
 
 

Нахождение  максимума функции

Переменные

 

Ограничения

 
 
 
 
 
 
 

Оптимальный план :X=(112;142;0;0;34)

Суммарная стоимость продукции :     mах f(Х) =f ( 112; 142; 0; 0; 34) =2268

Как видно  из таблицы ЕХСЕL с результатами расчёта, введение в план изделия "Д" позволяет увеличить суммарную выручку (по сравнению с ситуацией, когда производятся изделия только четырех видов : "А", "Б", "В", "Г"). В структуре номенклатуры оптимального плана выпуска продукции (при котором стоимость продукции максимальна) - произошли изменения. В оптимальный план добавляется изделие "Д" (обозначаемое какХ₅ ). Однако по - прежнему в план входят изделия "А" и "Б", но не входят изделия "В" и "Г" (Х₃ и Х4). И причина этого - прежняя (цена изделий "В" и "Г" слишком низка). Поэтому ресурсы расходуют на те изделия, производство которых выгодно. В том числе и на изделие "Д", включённое в план. Также нужно заметить, что в оптимальном плане возросло число изготавливаемых изделий "А" (112 вместо 95), зато снизилось число изделий "Б" (142 вместо 210). Следовательно, данное изделие ("Д")     целесообразно включать в план. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 3

Построение  баланса производства и распределения  продукции  предприятий  с использованием балансового метода планирования и модели Леонтьева.

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов,

при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции  одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида, третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, являясь конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij(i= 1, 2, 3;j= 1, 2, 3 ) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i, вектора конечной продукции Y.

Требуется : 

1 .Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат);

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные (вариант № 2) 

 

Решение 

1. Проверка продуктивности матрицы  коэффициентов прямых материальных  затрат (А). Матрица коэффициентов прямых затрат :

            0  0,1  0,2 0  1  2  0  1  2

         0,1  0,2  0,1 1  2  1  1  2  1

A=    0,2  0,1  0,2         =0,1* 2  1  2 =1/10*  2  1  2 

Оценку  продуктивности матрицы коэффициентов  прямых затрат произведем по второму и четвертому признакам.

1.1 Признак  2: все главные миноры матрицы  Е -А положительны .

Рассмотрим  матрицу

   1  0  0   0  0,1  0,2                        1  -0,1  -0,2  10  -1  -2

Е –А=        0  1  0      -      0,1  0,2  0,1         =      -0,1  0,8  -0,1       =1/10*             -1  8  -1

                   0  0  1               0,2  0,1  0,2                  -0,2  -0,1  0,8                                -2  -1  8 

Для простоты вычислений вынесем общий для  всех элементов матрицы множитель  "за скобки". Проведем все вычисления с полученной новой матрицей.

Определим главные миноры матрицы:

  

      1  - 1                                                          10  -1  -2                                                     

Δ₁=10>0           Δ₂ = =8-1=7>0 Δ₃=         -1  8  -1  

                                              -1  8    -2  -1  8 

Найдём  определитель матрицы (по правилу Саррюса):

 10  -1  -2 10  -1  -2       

Δ₃= -1   8   -1 :                -1   8   -2        = 10*8*8-2-2-4*8-10-8=640- 4*9-

      -2  -1    8                                                                  18=586>0

Главные миноры матрицы положительны.

Главные миноры исходной матрицы - также положительны, согласно свойствам матриц. Таким образом, матрица коэффициентов прямых затрат (А) - продуктивна. 

1.2 Признак  4: максимальное собственное число  матрицы А меньше единицы . 
 

    0  0,1  0,2 1  0  0 0  1  2  1  0  0

A-λ*E= 0,1  0,2  0,1         - λ* 0  1  0       = 1/10*            1  2  1         - λ*       0  1  0

      0,2  0,1  0,2 0  0  1                                2  1  2                      0  0  1 
 

 0  1  2 1  0  0  0  1  2

A-λ*E= 1/10*          1  2  1           - λ  0  1  0       =  1/10*  1  2  1       

                                  2  1  2 0  0  1 2  1  2 

 10  0  0 

- λ* 0  10  0

      0  0  10

 -10*λ            1         2 

A-λ*E= 1/10* 1     2-10* λ     1  

      2             1       2-10* λ 
 
 

Рассмотрим характеристическое уравнение:     | A-λ* E | = 0

  -10*λ            1             2  

| A-λ* E | = 1/10³ *                      1      2-10* λ        1                       =0 

                                                     2           1          2-10* λ 
 

                             -10*λ            1            2   
 

                                  1       2-10* λ       1                      =0 

                                 2              1           2-10* λ 
 

 

               -10*λ            1         2                                     -10*λ            1         2 

      : 1      2-10* λ      1         

                    1       2-10* λ      1                                   

                    2              1         2-10* λ 
 
 

= -10*λ*(2-10*λ)²+2+2-4*(2-10* λ)+10*λ-(2-10*λ)

 

                -10*λ            1         2  

         1     2-10λ      1                  = -10λ*(2- 10λ) ²+2+2-4*(2-10*λ)+10*λ-(2-

                    2             1        2-10λ -10*λ)    
 

                

                          -10λ            1         2 

           1     2-10λ       1                        = -1000λ³  +400λ²  +20λ-6             

                                2             1        2-10λ 
 

Таким образом, характеристическое уравнение:

                                       -1000 λ³  + 400 λ²  + 20λ  - 6 =0       

      λ³  - 400 * 10^-3* λ² – 20*10^-3 * λ + 6 * 10^-3 = 0

Корни характеристического уравнения :

λ ₁ = -0,1273073 < 1      

λ ₂ = 0,1140435< 1

λ₃=0,4132637<1

Таким образом, максимальное собственное  число матрицы A меньше единицы.

Таким образом, матрица коэффициентов  прямых затрат (А) – продуктивна.

2. Построение баланса  производства  и распределение  продукции отраслей.

Система балансовых уравнений в матричной  форме имеет вид: X = АХ + Y (модель Леонтьева в матричной форм-модель Леонтьева в матричной форме.

В данном матричном уравнении:

матрица коэффициентов прямых затрат: 
 
 
 
 
 
 
 

Такобразом, максимальное собственное

                0    0,1  0,2                               0  1  2                     0   1   2