Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

      Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение.

1)Построение  экономико-математической  модели задачи

Введем  переменные : X₁- количество корма 1, X₂ - количество корма 2 (в кг).

Целевая функция в данном случае затраты  на корма обоих видов. Требуется  найти такое распределение кормов обоих видов, чтобы суммарные  затраты на покупку кормов были минимальны. При этом значения переменных должны находиться в области допустимых решений.

Целевая функция задачи :

 f(x) = 0,2X₁ + 0,3Х₂

Найдём минимум целевой     функции.

Область допустимых решений (ОДР) задачи, согласно условию:

2X₁ + Х₂ ≥6

                     X≥0   Х₂≥0  

2X₁ + 4Х₂≥12

2) Построим область  допустимых решений  (ОДР) задачи.

Условия неотрицательности переменных означают, что область решений будет  лежат в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные  ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми и осями координат :           

                    2X₁  + Х₂ = 6

               2X₁ + 4Х₂ = 12

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой область АВС (заштрихованная область для всех ограничений задачи ОДР).

3) Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину с началом координат О (0, 0). Строим градиент функции - вектор, показывающий направление возрастания функции f(x).

С=grad(f)= (δf/δx₁; δf/δx₂) = ( 0,2; 0,3)

4) Построим некоторую линию уровня .

Пусть, например, а = 0. На эскизе такой линии  уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектор-градиенту.

0,2 X₁+ 0,3 X₂ = 0

5) При максимизации целевой функции (ЦФ) необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектор - градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельной точкой при таком движении линии уровня ОХ является точка В - крайняя точка (вершина) ОДР (по - другому называемой многоугольником планов). Далее она (линия уровня) уже не пересекает единственную точку ОДР (так как область неограниченна сверху).

6)Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения граничных прямых , решив систему уравнений :

                                      2*X₁+ Х₂=6

                                    2*X₁ + 4*Х₂ = 12

Точка 0( 0; 0 ) - точка начала координат.

Получаем  точку В (2; 2) - вершину многоугольника (сектора) планов.

7) Точка В является так называемым оптимальным планом. В точке В целевая функция принимает свое минимальное значение при заданной системе ограничений. Эта точка отвечает минимально возможным затратам на корма при заданной ОДР. При заданной ОДР отсутствует точка максимума для целевой функции Смысл данного факта: затраты на корма при данной ОДР никак не ограничиваются (хотя в реальных случаях такая ситуация невозможна). Таким образом, целевая функция в задаче линейного программирования принимает, при заданной системе ограничений :

минимальное значение-min(f)=f(В)=0,2*2 + 0,3 *2 = 1. (тыс. руб).

максимальное  значение - отсутствует (функция неограниченна  сверху на ОДР). С помощью надстройки ЕХСЕL «Поиск решения" минимум целевой функции, также как и при использовании графического метода. Максимум найти не удается (сообщается, что результат не сходится); в таблице помещено только одно из возможных значений.

Ответ: максимального значения - нет (ОДР неограничен сверху);

min( x) = (2; 2); min(f)= 1 (тысяч денежных единиц). 

Графическое решение

C - градиент ЦФ ОПР

B(min)

 
 2X₁+X₂ = 6

0,2 X₁ +0,3 X₂ = 0

2X₁+4X₂=12

 

Применение  надстройки ЕХСЕL " Поиск решения

                            Переменные 

Нахожденимаксимума

функции 

Ограничения 

Переменные

                        

 Ограничения 

 

Нахождениминимума

функции

 

Задача 2

Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического  анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

2.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Требуется :

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план  выпуска продукции при увеличении  запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

- определить  целесообразность включения в  план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется  по две единицы каждого вида  сырья.

Решение.

   1. Формулировка прямой оптимизационной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Прямая  оптимизационная задача:

Найти такое сочетание объема выпуска  изделий разных видов в программе  выпуска (так называемый оптимальный план), при котором выручка от реализации готовой продукции будет максимальна.

При решении  данной задачи учитывается то, что  запасы сырья различных видов, используемых в изготовлении изделий, ограничено.

Целевая функция - выручка от реализации готовой  продукции

f(Х)  = 9X₁ + 6Х₂ + 4X₃ + 7Х₄

Необходимо  найти максимальное значение целевой  функции (при учете ограничений на запасы сырья различных видов):

                            mах f(X) = 9Х₁+ 6 X₂ + 4X₃ + 7Х₄

Расходы различного сырья на все изделия

1X₁+ 0 X₂ + 2 X₃ + 1 X₄< 180 Расход сырья №1

0X₁+ 1X₂ + З X₃ + 2 X₄ < 210 Расход сырья №2

4X₁ + 2 X₂ + 0 X₃+ 4 X₄ < 800 Расход сырья №3

Расход  любого сырья на все изделия не должен превышать имеющихся запасов сырья. Число изделий - величина неотрицательная (и причем - целая).

X₁ > 0 X₂> 0 X₃ > 0 X₄ > 0

Нахождение  максимума функции

                    Переменные