Лабораторная работа по "Эконометрике"

 

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПЕЧАТИ

 

Кафедра прикладной математики и моделирования систем

 

 

 

 

 

 

 

 

ЭКОНОМЕТРИКА

 

 

 

 

Лабораторная работа №1 “Парная  регрессия”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент гр. ЭБ-д-3-1 Фамилия  И.О.

 

Преподаватель Голинков Ю.П.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва

2007

Задание

 

Построить поле корреляции для заданной совокупности наблюдений, на основе визуального анализа удалить из выборки аномальные наблюдения (не более 5% от исходного числа), добиваясь увеличения коэффициента детерминации для линейной модели парной регрессии.

Используя встроенные функции Excel, для скорректированной выборки наблюдений построить модели парной регрессии для 6 заданных функций регрессии: линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической. Для каждой из построенных моделей определить коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации, коэффициент эластичности. Прокомментировать качество построенных моделей.

Привести расчетные  формулы и выполнить вычисления параметров уравнения парной линейной регрессии, показателей статистической значимости уравнения регрессии в целом, коэффициентов регрессии и корреляции, точечного и интервального прогноза. Используя надстройку Excel “Анализ данных” и матричные вычисления, продублировать вычисления параметров модели парной линейной регрессии и всех показателей, характеризующих ее качество.

С помощью пакета STATISTICA провести расчеты для линейной, гиперболической  и обратной функций регрессии. Построить  график с доверительными интервалами прогноза для линейной регрессии.

Проанализировать возможность  улучшения качества модели регрессии за счет применения нелинейных функций регрессии и удаления некоторых наблюдений (не более 10%).

 

Исходные данные

Поле корреляции по исходным данным

Выявление и удаление аномальных наблюдений

 

 

 

 

 

 

 

Значения коэффициента детерминации для исходной выборки и после поочередного удаления предполагаемых на основе визуального анализа аномальных наблюдений:

 

Исходная  выборка		0.711
235.2	1.42	0.7266
250	10.1	0.7704
630	4.58	0.7415
1300	10.86	0.7181
1800	20.54	0.3879

 

По результатам проведенного анализа из выборки удалено наблюдение (10,1; 250).

Скорректированная выборка (27 наблюдений)

 

 Описательная статистика

 

Модели  парной регрессии

Линейная

 

Степенная

Экспоненциальная

Логарифмическая

Обратная

 

Гиперболическая

 

 

Расчетные формулы

Коэффициент детерминации

где   - наблюдавшееся значение результативного показателя;

- расчетное значение по уравнению регрессии;

  - среднее значение результативного  показателя.

 

Коэффициент детерминации рассчитывался  для степенной функции регрессии:

для экспоненциальной функции регрессии:

для обратной функции регрессии:

и для гиперболической функции  регрессии:

Коэффициент детерминации для линейной и логарифмической функций получен с помощью команды Excel:  Диаграмма_Добавить линию тренда.

Средняя ошибка аппроксимации

Для расчета средней  ошибки аппроксимации использовались формулы:

, 

 

.

Для каждой модели выбиралось минимальное из трех рассчитанных значений.

Коэффициент эластичности

Для линейной функции:

Для степенной функции:

Для экспоненциальной функции:

Для полулогарифмической функции:

Для обратной функции:

Для гиперболической  функции:

Сравнительная характеристика моделей

 

Вид модели	Коэффициент детерминации	Средняя ошибка аппроксимации	Коэффициент эластичности
Линейная	0.7704	29.79%	0.5383
Степенная	0.6191	32.66%	0.4892
Экспоненциальная	0.7801	29.98%	0.3513
Логарифмическая	0.5468	36.60%	0.5180
Обратная	0.2364	35.91%	0.1804
Гиперболическая	0.2583	42.92%	0.2209

 

Из рассмотренных моделей наибольшее значение коэффициента детерминации, близкое к требуемой величине 0.8, имеют линейная и экспоненциальная модели. Однако, высокая величина средней ошибки аппроксимации (около 30%) ограничивает возможность их практического применения. Ни одна из других моделей не соответствует предъявляемым требованиям по величине коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации.

Расчетные формулы для определения параметров регрессии и корреляции

 

Система нормальных линейных алгебраических уравнений относительно  
параметров парной линейной регрессии

 

Решение системы:  a = 2.38315;     b = 0,00868.

Коэффициент регрессии (альтернативные формулы)

 

 

 

Свободный член уравнения регрессии

 

Коэффициент корреляции

 

 

 

Индекс корреляции

Коэффициент детерминации

 

 (для парной линейной регрессии).

 

Скорректированный коэффициент детерминации

 

Более 76% дисперсии результативного показателя (Стоимость полиграфических работ) обусловлено изменением фактора-аргумента (Объем заказа в тыс. л.-отт.). По этому показателю рассматриваемая модель регрессии удовлетворяет необходимым требованиям.

Стандартная ошибка регрессии

 

 

F-критерий Фишера

 

 

F_табл =FРАСПОБР(0.05;1;25) = 4.2417

F_табл =FРАСПОБР(0.01;1;11) = 7.7698

 

При уровне значимости a = 0,05 и при более строгом подходе (a = 0,01) уравнение регрессии в целом является значимым.

Стандартные ошибки параметров регрессии  и коэффициента корреляции

 

 

 

 

 

Расчетные значения T-критериев Стьюдента

 

 

 

 

Соотношение между  T-критериями Стьюдента и F-критерием Фишера

 

 

Табличное значение T-критерия Стьюдента

T_табл =СТЬЮДРАСПОБР(0.05;25) = 2.05954

T_табл =СТЬЮДРАСПОБР(0.01;25) = 2.7874

 

При уровне значимости a = 0,05 и при a = 0,01 параметры уравнения регрессии a и b, а также коэффициент корреляции r являются значимыми.

 

Точечный прогноз

 

 

Ошибка прогноза

 

Доверительный интервал прогноза с учетом индивидуального рассеивания результирующего показателя при x = 1.1x_средн.

 

Доверительный интервал прогноза без учета индивидуального рассеивания результирующего показателя при x = 1.1x_средн.

 

Доверительные интервалы прогноза с учетом и без учета индивидуального рассеивания результирующего показателя при различных значениях x

 

 

Результаты расчетов с помощью  пакета  
“Анализ данных”

 

 

Матричные вычисления

 

 

Расчеты с помощью пакета STATISTICA

 

Линейная  модель

 

 

 

 

 

Параметры регрессии

 

 

Доверительные интервалы прогноза

Пунктирная линия на графике  соответствует прогнозу для значения фактора, превышающего на 10% его среднюю величину (ранее было получено: 1,49376  ≤ y_р ≤ 9,37264).

Парная нелинейная регрессия

 

Гипербола

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчетов совпадают с полученными ранее в Excel:

 

Коэффициенты линеаризованной модели
-464.4	8.03501
157.389	1.17222
0.2583	3.37554
8.70621	25
99.2007	284.856

 

Дополнительно получена скорректированная величина индекса детерминации 0,2286 и уровни значимости свободного члена и коэффициента регрессии.

 

 

Обратная  функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты расчетов в Excel:

 

Коэффициенты линеаризованной модели
-0.00020043594	0.34418
7.7802E-05	0.0387
0.209785106	0.15416
6.636963798	25
0.157728585	0.59413

Для гиперболической  и обратной функций регрессии  результаты, полученные пакетом STATISTICA, полностью совпадают с  параметрами линеаризованных моделей регрессии, рассчитанных ранее с помощью функции Excel "ЛИНЕЙН".

Предложения по улучшению модели

 

Нелинейная  функция регрессия с двумя  слагаемыми

 

 

За счет применения нелинейной функции  с двумя слагаемыми не удалось  улучшить коэффициент детерминации, дополнительный фактор x^1/2 оказался незначимым, его включение в модель нецелесообразно. Не привело к улучшению модели включение в качестве дополнительного фактора 1/x, ln(x), x². Некоторое улучшение исходной модели парной линейной регрессии имеет место при замене x на  x².

 

 

Исключение наблюдения методом Монте-Карло

 

Случайные числа	Объем заказа в тыс. л.-отт., x	Стоимость полиграфических работ, y
0.901497058	67.2222	2.16
0.708706091	280	7.31
0.458937517	336	4.89
0.21076708	184.8	4.85
0.173503726	630	4.58
0.984780677	109.2	2.13
0.122357235	1300	10.86
0.297489252	143	4.4
0.792862629	1800	20.54
0.079878536	184.8	1.66
0.277892891	311.111	5.62
0.84261417	600	8.33
0.513903269	300	5.2
0.035772746	100.8	2.07
0.339773519	144.222	4.77
0.102913686	79.8	3.81
0.194761822	66	4.33
0.239156682	270	2.9
0.352146129	281.944	5.45
0.255540589	136.111	5.01
0.847962716	176.4	3.32
0.923866415	235.2	1.42
0.555366508	81	1.64
0.592801588	260	2.78
0.946900586	90.7407	4.14
0.389226652	115.5	6.18
0.101839229	340	8.86