Математические модели в экономике

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ        ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ         ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ    «ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ                                               В ЭКОНОМИКЕ

 

Курсовая работа

по математической экономике

на тему «“Математические модели в экономике"»

 

 

 

Автор работы:

Студент гр. И918

Мусаев Ш.М.

Руководитель:

Абдулгалимов А.М.

 

 

 

 

Махачкала 2013 г.

Содержание

Введение

Часть № 1 "Исследование математической модели"

  Составление математической модели

  Создание и сохранение отчетов

  Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

  Выводы

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого    баланса

  Решение задачи на компьютере

  Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

  Выводы

Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

   Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

   Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

   Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

   Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

   Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

   Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

   Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

   Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

   Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

   Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта  и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что  ранее проведенный системный  анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения  задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как  правило, решаемые в экономической  практике задачи, стандартизованы, системный  анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения  задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление  базы данных и средств работы с  ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных  задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие  этапы:

1. Содержательная  постановка задачи.

2. Системный  анализ.

3. Системный  синтез (математическая постановка  задачи)

4. Разработка  или выбор программного обеспечения.

5. Решение  задачи.

Последовательное  использование методов исследования операций и их реализация на современной  информационно-вычислительной технике  позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые  решения, основанные не на строгом и  точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей  различных уровней, которые к  тому же не могут согласовать эти  свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать  принимаемые решения с точки  зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить  на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает  в обход человека, представляя  ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Сложность процессов  в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует  ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные  исследования, невозможные или требующие  больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.

Математическое  моделирование позволяет принять  оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без  применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах  производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.

Математические  методы, применяемые для анализа  математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.

 

Часть № 1 "Исследование математической модели"

 

Постановка задачи.

На предприятии имеется возможность  выпуска продукции 4-х видов. Для  выпуска единицы продукции каждого  вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в  таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций  №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого  вида).

На основе математического моделирования  средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.

 

Таблица 1.

	Количество ресурсов, необходимое  для производства единицы продукции				Наличие ресурсов
	Продукция №1	Продукция №2	Продукция №3	Продукция №4
Трудозатраты	1,1	2,3	1,6	1,8	1000
Финансы	0,63	0,1	1	1,7	400
Сырье	1,8	1,4	1	0,15	800
Прибыль (на единицу продукции)	1,7	2,3	2	5	-

Составление математической модели

 

Целевая функция (ЦФ).

Целевая функция показывает, в каком  смысле решение задачи должно быть наилучшим (оптимальным). В нашей  задаче ЦФ:

Прибыль → max.

Значение прибыли можно определить по формуле:

Прибыль = кол₁ ∙ пр₁ + кол₂ ∙ пр₂ + кол₃ ∙ пр₃ + кол₄ ∙ пр_4,где кол₁,…, кол₄ –

количества выпущенной продукции  каждого вида;

пр₁,…, пр₄ - прибыли, получаемые от реализации единицы каждого вида продукции. Подставив значения пр₁,…, пр₄ (из табл.1) получим:

ЦФ: 1,7 ∙ кол₁ + 2,3 ∙ кол₂ + 2 ∙ кол₃ + 5 ∙ кол₄ → max (1)

Ограничения (ОГР).

Ограничения устанавливают зависимости  между переменными. В нашей задаче ограничения накладываются на использование  ресурсов, количества которых ограничены. Количество сырья, которое необходимо для производства всей продукции, можно  подсчитать по формуле:

Сырьё = с₁ ∙ кол₁ + с₂ ∙ кол₂ + с₃ ∙ кол₃ + с₄ ∙ кол_4,где с₁,…, с₄ –

количества сырья, необходимые  для выпуска единицы каждого  вида продукции. Общее количество использованного  сырья не может превышать имеющего в наличии ресурса. Подставив  значения из табл.1, получим первое ограничение - по сырью:

1,8 ∙ кол₁ + 1,4 ∙ кол₂ + 1 ∙ кол₃ + 0,15 ∙ кол₄ ≤ 800 (2)

Аналогично запишем ограничения  по финансам и трудозатратам:

0,63 ∙ кол₁ + 0,1 ∙ кол₂ + 1 ∙ кол₃ + 1,7 ∙ кол₄ ≤ 400 (3)

1,1 ∙ кол₁ + 2,3 ∙ кол₂ + 1,6 ∙ кол₃ + 1,8 ∙ кол₄ ≤ 1000 (4)

 

Граничные условия (ГРУ).

Граничные условия показывают, в  каких пределах могут изменяться искомые переменные. В нашей задаче это финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 согласно условию:

0,1 ∙ кол₂ ≤ 50 р.; 1,7 ∙ кол₄ ≤ 50 р. (5)

С другой стороны мы должны ввести, что количество продукции должно быть больше или равно нулю. Это  очевидное для нас, но необходимое  компьютеру условие:

кол₁ ≥ 0; кол₂ ≥ 0; кол₃ ≥ 0; кол₄ ≥ 0. (6)

Поскольку все искомые переменные (кол₁,…, кол₄) входят в соотношение 1-7 в первой степени и над ними производятся только действия суммирования и умножения на постоянные коэффициенты, то модель является линейной.

Решение задачи на компьютере.

Включаем компьютер. Перед входом в сеть задаем имя пользователя ZA, с паролем А. Загружаем программу Excel. Сохраняем файл под именем Лидовицкий Кулик. хls. в папке Эк/к 31 (2). Создаем верхний колонтитул: слева - дата, в центре имя файла, справа имя листа.

Создаем и форматируем заголовок  и таблицу исходных данных (таблица 1). Заносим в таблицу данные согласно варианту задачи.

Создаем и форматируем таблицу  для расчета. В ячейки "Количество" заносим начальные значения. Их выбираем близкими к ожидаемому результату. Мы не имеем предварительной информации и поэтому выберем их равными 1. Это позволит легко проконтролировать вводимые формулы.

В строку "Трудозатраты" вносим слагаемые формулы (4) - произведения количества продукции на количество трудозатрат, необходимые для производства единицы продукции:

для продукции №1 (=С15*С8);

продукции №2 (=D15*D8);

продукции №3 (=E15*E8);

продукции №4 (=F15*F8).

   В графе “ИТОГО” находим сумму содержимого этих ячеек при помощи кнопки автосуммирования Σ. В графе “Остаток” находим разницу между содержимым ячеек “Ресурс-Трудозатраты” таблицы 1 и “ИТОГО-Трудозатраты" (=G8-G17). Аналогично заполняем графы "Финансы" (=G9-G18) и "Сырье" (=G10-G19).

   В ячейке “Прибыль” вычисляем прибыль по левой части формулы (1). При этом воспользуемся функцией =СУММПРОИЗВЕД (С15: F15; C11: F11).