Оптимизация ассортимента продукции на примере ОАО "Тюменский хлебокомбинат"

C_ijk – затраты i-го вида ресурсов на единицу j-го сорта продукции k-й категории;

A_ijk – цена реализации продукции j-го сорта k-й категории;

V – стоимость продукции;

Z – материально-денежные затраты на производство продукции;

W_{jk max}, W_{jk min} – максимальный и минимальный  удельный вес вида j-го сорта продукции в k-й категории;

B_i – объем ресурсов i-го вида;

B_{k max}, B_{k min} – максимальный и минимальный  пределы производства продукции k-й категории.

Ограничения:

1)  по расходу  сырья: 

å C_ijk X_jk <= B_i

2)  по производству  продукции по категориям:

∑ X_jk = Y_k

3) производство  продукции данной категории должно  быть ограничено:

å Y_k >= B_{k min},

åY_k <= B_{k max}

4) по удельному  весу сорта продукции  в  данной категории: 

X_jk >= W_{jk min} Y_k,

X_jk <= W_{jk max} Y_k

5) по суммированию  стоимости продукции: 

å A_ijk X_jk = V

6) по суммированию  материально-денежных затрат:

å Сijk Xjk = Z

7. условие не отрицательности переменных:

Xjk>=0

Целевая функция – максимум прибыли:

Fmax = V-Z

3.4. Развернутая экономико-математическая модель

Система переменных

X11	- хлеб  пшеничный, тонн;
X12	- хлеб ржаной, тонн;
X13	- булочные изделия, тонн;
Y1	- хлебобулочные изделия - всего, тонн;
X21	- пряник, тонн;
X22	- печенье, тонн;
X23	- торты, тонн;
X24	- сахаристые (зефир, мармелад) , тонн;
X25	- прочие (кексы, рулеты) , тонн;
Y2	- кондитерские изделия - всего, тонн;
Y3	- тесто, тонн;
V	- стоимость продукции, тыс.руб.;
Z	- затраты на производство, тыс.руб.

 

Система ограничений

1. По расходу  денежных средств на сырье,  тыс.руб.:

6,7Х₁₁+6,4Х₁₂+12Х₁₃+15Х₂₁+17Х₂₂+71,8Х₂₃+30,4Х₂₄+44,7Х₂₅+3,8У₃<=130000

2. По суммированию  выручки от реализации продукции,  тыс.руб.:

27Х₁₁+24,5Х₁₂+39Х₁₃+43,5Х₂₁+48,8Х₂₂+122Х₂₃+73Х₂₄+80,6Х₂₅+28,5У₃=V

или

27Х₁₁+24,5Х₁₂+39Х₁₃+43,5Х₂₁+48,8Х₂₂+122Х₂₃+73Х₂₄+80,6Х₂₅+28,5У₃-V=0

3. По суммированию  затрат на производство продукции, тыс.руб.:

22,5Х₁₁+21,6Х₁₂+34,8Х₁₃+38Х₂₁+42,4Х₂₂+103Х₂₃+67,8Х₂₄+74,7Х₂₅+19У₃=Z

или

22,5Х₁₁+21,6Х₁₂+34,8Х₁₃+38Х₂₁+42,4Х₂₂+103Х₂₃+67,8Х₂₄+74,7Х₂₅+19У₃-Z=0

4. По производству хлебобулочных изделий – всего, тонн:

Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃=У₁ или Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃-У1=0

5. По производству  хлебобулочных изделий не менее,  тонн:

У₁>=10000

6. По производству  хлебобулочных изделий не более,  тонн:

У₁<=11000

7. По минимальному  удельному весу хлеба пшеничного  в хлебобулочных изделиях, тонн:

Х₁₁>=0,45У₁ или Х₁₁-0,45У₁>=0

8. По максимальному  удельному весу хлеба пшеничного  в хлебобулочных изделиях, тонн:

Х₁₁<=0,55У₁ или Х₁₁-0,55У₁<=0

9. По минимальному  удельному весу хлеба ржаного  в хлебобулочных изделиях, тонн:

Х₁₂>=0,3У₁ или Х₁₂-0,3У₁>=0

10. По максимальному  удельному весу хлеба ржаного в хлебобулочных изделиях, тонн:

Х₁₂<=0,4У₁ или Х₁₂-0,4У₁<=0

11. По минимальному удельному весу булочек в хлебобулочных              изделиях, %:

Х₁₃>=0,45У₁ или Х₁₃-0,45У₁>=0

12. По максимальному  удельному весу булочек в хлебобулочных             изделиях, тонн:

Х₁₃<=0,1У₁ или Х₁₃-0,2У₁<=0

13. По производству  кондитерских изделий – всего,  тонн:

Х₂₁+Х₂₂+Х₂₃+Х₂₄+Х₂₅=У₂ или Х₂₁+Х₂₂+Х₂₃+Х₂₄+Х₂₅-У₂=0

14. По производству  кондитерских изделий не менее,  тонн:

У₂>=1300

15. По производству  кондитерских изделий не более, тонн:

У₂<=1400

16. По минимальному  удельному весу пряника в кондитерских  изделиях, тонн:

Х₂₁>=0,5У₁ или Х₂₁-0,5У₁>=0

17. По максимальному  удельному весу пряника в кондитерских  изделиях, тонн:

Х₂₁<=0,6У₁ или Х₂₁-0,6У₁<=0

18. По минимальному удельному весу печенья в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₂>=0,08У₂ или Х₂₂-0,08У₂>=0

19. По максимальному  удельному весу печенья в кондитерских  изделиях, тонн:

Х₂₂<=0,12У₂ или Х₂₂-0,12У₂<=0

20. По минимальному  удельному весу тортов в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₃>=0,2У₂ или Х₂₃-0,2У₂>=0

21. По максимальному  удельному весу тортов в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₃<=0,3У₂ или Х₂₃-0,3У₂<=0

22. По минимальному  удельному весу сахаристых изделий в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₄>=0,015У₂ или Х₂₄-0,015У₂>=0

23. По максимальному  удельному весу сахаристых изделий в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₄<=0,03У₂ или Х₂₄-0,03У₂<=0

24. По минимальному  удельному весу прочих в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₅>=0,025У₂ или Х₂₅-0,025У₂>=0

25. По максимальному  удельному весу прочих в кондитерских изделиях, тонн:

Х₂₅<=0,05У₂ или Х₂₅-0,05У₂<=0

26. По производству теста не менее, тонн:

У₃>=350

27. По производству теста не более, тонн:

У₃<=400

 

Целевая функция – максимум прибыли:

F_max=V-Z

 

4. Решение задачи на  ЭВМ и анализ оптимального плана

 

4.1. Описание метода и способа решения задачи

Решение задачи начинается с ввода условий задачи:

1. Оформляем таблицу (приложение 1)  и вводим исходные данные (объемы ограничений, технико-экономические коэффициенты, коэффициенты целевой функции);
2. Вводим целевую функцию: курсор ставим в целевую ячейку Р8, даем команду Вставка/Функция, выбираем категорию «Математические» и  находим в ней функцию СУММПРОИЗВ. Щелкаем на кнопке ОК. Вводим массив 1- интервал ячеек строки «Значение» с абсолютной адресацией ($С$5:$О$5), массив 2 – интервал ячеек коэффициентов целевой функции (С8:О8). Щелкаем на кнопке ОК. В ячейке Р8 появляется ноль, как результат работы формулы.

3. Копируем формулу из ячейки Р8 в столбец «Левая часть».
4. Решение задачи осуществляется через меню Сервис/Поиск решения. В открывшемся диалоговом окне задаем параметры решения задачи: указываем адрес целевой ячейки Р8, устанавливаем направление целевой функции - максимум. Вводим в поле «Изменяемые ячейки» интервал ячеек строки «Значения» ($С$5:$О$5). Щелчком по кнопке Добавить вводим условие не отрицательности переменных ($С$5:$О$5>=$С$6:$О$6), а также все ограничения задачи (сравниваем «Левую часть» и «Правую часть»).

5. Щелкаем на кнопке Параметры. Для решения данной задачи необходимо установить флажок «Линейная модель», что обеспечивает применения симплексного метода. Щелкаем на кнопке ОК.
6. Выполняем поиск оптимального решения (кнопка Выполнить). Если найдено оптимальное решение, то сообщается «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». При этом активны три типа отчёта (отчет по результатам, отчет по устойчивости и отчет по пределам), выделяем нужные и нажимаем ОК. Отчеты формируется перед листом, где расположена модель задачи.

4.2. Анализ оптимального решения

 

В оптимальную  структуру производимой продукции  вошли:

• хлеб  пшеничный (Х₁₁) 6050 тонн;
• хлеб ржаной (Х₁₂) 3300 тонн;
• булочные изделия (Х₁₃) 1650 тонн;
• всего хлебобулочных изделий (У₁) 11000 тонн;
• пряник (Х₂₁) 740 тонн;
• печенье (Х₂₂) 168 тонны;
• торты (Х₂₃) 420 тонн;
• сахаристые изделия (Х₂₄) 21 тонна;
• прочие кондитерские изделия (Х₂₅) 51 тонна;
• всего кондитерских изделий (У₂) 1400 тонн;
• тесто (У₃) 400 тонн.

Затраты на производство продукции (Z) составили 356155 тыс.руб., а выручка от реализации продукции (V) – 417216 тыс.руб. Прибыль (ЦФ) максимальна и составляет 61060 тыс.руб.

Денежные  средства, выделяемые на закупку сырья, использованы полностью.

Все категории  продукции рекомендуется выпускать  в максимально-возможных количествах.

4.3. Анализ устойчивости оптимального решения

 

Отчет   по   устойчивости   (приложение 2) позволяет   оценить   надёжность оптимального   решения,   проверить   устойчивость   плана   к   изменению отдельных параметров задачи.

Таблица «Изменяемые ячейки»

  Нормированная стоимость показывает, как изменится значение  целевой функции при принудительном вводе в оптимальный план единицы переменной, не вошедшей в оптимальное решение.

В нашей задаче нормированная стоимость равна нулю, так как все виды продукции представлены в оптимальном плане.

Допустимое  увеличение и уменьшение позволяют определить интервал изменения   коэффициентов целевой   функции,  при   котором состав переменных в оптимальном решении не изменится.

В нашей задаче целевые коэффициенты равны 1 и -1, поэтому пределы их изменения мы не определяем.

Таблица «Ограничения»

Теневая цена показывает, как изменится значение целевой функции при увеличении объема ограничения на единицу.

При увеличении на 1 тыс.руб. денежных средств, выделяемых на закупку сырья, прибыль вырастет на 0,0135 тыс.руб.

При увеличении максимально возможного объема производства хлебобулочных, кондитерских изделий  и теста прибыль повысится  на 3,88 тыс.руб., 9,22 тыс.руб. и 9,45 тыс.руб. соответственно.

Допустимое  увеличение и уменьшение позволяют определить интервалы,   в  которых  могут  изменяться  объемы  ограничений  при сохранении оптимального решения (т.е. состава переменных вошедших в оптимальный план).

Оптимальное решение не изменится, если ограничения  будут находиться в пределах:

• сырье – от 129530 до 130569,4 тыс.руб.;
• производство хлебобулочных изделий – не более  11063,48 тонн;
• производство кондитерских изделий – не более 1414,14 тонн;
• производство теста – не более 523,71 тонн.

4.4. Сравнение результатов моделирования с данными предприятия

Сравнить фактическую (2010 год) и оптимальную структуры производимой продукции можно на диаграммах, представленных в приложениях  3 и 4, а также в таблице 11.

Как видно по данным таблицы 11, в целом объем производства по предприятию рекомендуется увеличить  на 400 тонн, в том числе хлебобулочных изделий на 350 тонн, кондитерских изделий на 30 тонн, теста на 20 тонн.

В составе хлебобулочных  изделий следует увеличить производство пшеничного и булочек, но сократить выпуск ржаного хлеба.

Среди кондитерских изделий рекомендуется сократить выпуск пряников и сахаристых изделий, а остальных видов продукции – увеличить.

Таблица 11

Сравнение фактической  и оптимальной структуры производимой продукции ОАО «Тюменский хлебокомбинат»

 

Виды продукции	2010 г.	Проект	Откл. (+,-)
Хлебобулочные изделия, всего	10650	11000	+350
хлеб  пшеничный	5250	6050	+800
хлеб ржаной	3800	3300	-500
булочные изделия	1600	1650	+50
Кондитерские изделия, всего	1370	1400	+30
пряник	770	740	-30
печенье	155	168	+13
торты	370	420	+50
сахаристые (зефир, мармелад)	35	21	-14
прочие (кексы, рулеты)	40	51	+11
Тесто	380	400	+20
ВСЕГО	12400	12800	+400