Построение и анализ графиков функций

Содержание

Введение

Обработка статистических данных  уже давно  применяется в  самых разнообразных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, трудно назвать ту сферу, в которой она бы не использовалась. Но, пожалуй, ни в одной области знаний и практической деятельности обработка статистических данных  не играет такой исключительно большой роли, как в экономике, имеющей дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах. Всесторонний и глубокий анализ этой информации, так называемых статистических данных, предполагает использование различных специальных методов, важное место среди которых занимает корреляционный и регрессионный анализы обработки статистических данных.

В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа. Для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого.

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Использование возможностей современной вычислительной техники, оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение задач изучения взаимосвязи показателей биржевых ставок  методами корреляционно-регрессионного анализа.

При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров применяемых математических функций является быстро выполняемой счетной операцией.

Данная работа посвящена изучению применения анализа функций и использования дифференциального и интегрального исчисления в математическом моделировании экономических систем.

1 Построение и анализ графиков функций

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо то­вара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.) сущест­вуют не изолированно друг от друга, а напротив, они связаны меж­ду собой определенным образом. Понятие функции или функцио­нальной зависимости - одно из основных математических понятий при помощи которых моделируются взаимосвязи между различны­ми величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями.

Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных понятий, поэтому оно не определяется, а поясняется. Говорят, что задана функция, если дан закон, согласно которому каждому значению х из некоторого числовою множества А ставится в соответствие одно вполне определённое значение у из некоторо­го числового множества В.

Функциональная зависимость между величинами х и у символи­чески обозначается так: у = f(x), говорят, что х - аргумент (незави­симая переменная), а у - функция (зависимая переменная).

Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых со­ответствует вполне определенное значение функции, называется областью определения функции.

Множество значений, принимаемых у, называется областью из­менения функции.

Функцию можно задавать различными способами. Наиболее рас­пространенные и важные среди них - задание функции формулой, таблицей и графиком. При задании функции в ЭВМ часто исполь­зуется также алгоритмический способ.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между ценой про­дукта, которую мы обозначим через р и величиной спроса на этот продукт, которую мы обозначим через q. Эта связь может быть представлена следующей таблицей, отражающей отрицательную взаимосвязь величин (убывание ве­личины спроса с возрастанием цены):

Эта же взаимосвязь величин может быть представлена в виде графика на рисунке 1.

Рисунок 1

Графиком функции называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости, имеющих ко­ординаты (х;f(х)), у которых абсциссами служат рассматриваемые значения независимой переменной х, а ординатами - соответствую­щие значения функции у=f(х).

Для того чтобы построить график функции, имея ее табличное представление, например график функции спроса, достаточно отло­жить значения величин, приведенных в таблице на соответствую­щих координатных осях, восстановить перпендикуляры к осям из точек, соответствующих определенному значению цены или спроса, и нанести точки пересечения перпендикуляров.

Функциональная зависимость между величинами х и у может быть задана также в виде формулы у = f(x), в которой в качестве f(х) фигурирует конкретная функция. В данном случае зависимость между ценой и величиной спроса выражается формулой: р = 500 - 50 (или q = 30 - 0,06р). Подставляя в последнюю формулу значения цены, представленные в верхней строке таблицы, мы легко убедимся в том, что в результате получаются соответствующие це­нам величины спроса, представленные в нижней строке таблицы. Таким образом, зная формулу функции, несложно получить таб­личное и графическое представление этой функции.

2 Дифференциальное исчисление в экономическом анализе

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей эко­номического анализа является изучение связей экономических ве­личин, записываемых в виде функций.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или опти­мальное значение того или иного показателя: наивысшую произво­дительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет со­бой функцию одного или нескольких аргументов. Нахождение оптимального значения показателя сводится к нахож­дению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс эк­стремальных задач в экономике, решение которых требует исполь­зования методов дифференциального исчисления. Если экономи­ческий показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) приращение функции у на приращение аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумен­та стремится к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рас­сматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это озна­чает, что необходимым условием экстремума функции y=f(x) явля­ется равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум фун­кций нескольких переменных, поскольку экономические показате­ли обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изу­чены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потреби­тельского выбора). Это - задачи математического программирова­ния, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, исполь­зуемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследо­вания изменяющихся величин затрат или результатов при измене­ниях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) фун­кции у=f(х) - это ее производная (в случае функции одной пере­менной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, сред­няя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С по­мощью средних величии ответ на этот вопрос получить невозмож­но. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Сле­довательно, для их решения необходимо применение методов диф­ференциального исчисления - нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности - в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление - это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты време­ни, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.д.

Одним из важнейших направлений применения дифференциально­го исчисления в экономике является вопрос нахожде­ния и анализа взаимосвязей экономических переменных, определя­ющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.