Стохастичні моделі управління запасами

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ  НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

  на тему: «СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ» 
 
 
 

Виконала:                                                                   студентка 1-го курсу

  факультету менеджмента 

Перевірила

____________________________________  
 
 
 
 
 

2009 
План : 

1. Стохастичні моделі управління запасами.
2. Управління запасами за  умови, що попит характеризується нормативним  законом  розподілу.
3. Управління запасами за умови штрафу та дефіциту.

 

Після вивчення теми студенти повинні 

знати:   проблематику обґрунтування економічно вигідного розміру партії; вирішуючі правила, що визначають оптимальний рівень резервного запасу;    основні співвідношення для визначення рівня страхового запасу в умовах ризику;

вміти   розраховувати значення економічно вигідного розміру партії для конкретних прикладів систем управління запасами; застосовувати правила прийняття рішень щодо рівня резервного запасу до конкретних систем; визначати основні характеристики системи управління запасами в стохастичному середовищі. 

КЛЮЧОВІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕРМІНИ 
 

• стохастичні моделі
• функція розподілу
• час попередження
• випадковий попит
• розмір партії
• вирішуюче правило
• рівень запасу
• відновлення рівня запасів
• затрати на зберігання
• інтенсивність споживання
• модель з фіксованим інтервалом
• поповнююча партія продукції
• поточні витрати на зберігання
• сумарні затрати
• резервний запас
• штраф за дефіцит
• щільність розподілу
• коефіцієнт ризику
• нерівномірність попиту
• модель точки замовлення та розміру партії

 
 
 
 

1.  Стохастичні моделі  управління запасами. 

В стохастичних моделях управління запасами попит  є випадковою величиною, що описується законами теорії вірогідностей. Врахування випадковості суттєво ускладнює аналіз та отримання рішень на таких моделях, а тому розглянемо найпростіші з них.

Припустимо, що попит r за інтервал часу Т є випадковим і заданий його закон розподілу (дискретний) р(r) або ж щільність розподілу вірогідності  f(r) . Якщо попит r є нижчий, ніж рівень запасу s , то закупівля (збереження, продаж) залишку продукту потребуватимуть додаткових затрат с₂ на одиницю продукту. Якщо ж попит вищий за рівень запасу, то це приводить до штрафу за дефіцит с₃ на одиницю продукції. Критерієм затрат, оскільки вони є випадковою величиною, вважатимемо математичне сподівання сумарних затрат M [s] .

Для моделі, що розглядається, матимемо у випадку  дискретного попиту:

                                         (1)

Перша складова враховує затрати на набуття (зберігання) надлишку (s - r) одиниць продукту (при r s ), а друга - штраф за дефіцит в (r - s) одиниць продукту (при r > s). У випадку неперервного випадкового попиту, що задається щільністю розподілу f(r) , для математичного сподівання сумарних витрат отримаємо:

                                                                               (2)

Таким чином, задача полягає у визначенні такого запасу s , при якому математичне сподівання сумарних витрат є найменшим. Якщо s* — запас, що мінімізує М [s] , то справедливі наступні співвідношення:

  для дискретного розподілу,                                                (3) 

і                         - для неперервного,                                                           (4) 
 

де  F (s) = p (r < s)                  - інтегральна функція розподілу попиту,

                                                                                                                                    (5)

- щільність  збитків внаслідок незадоволеного  попиту. В управлінні запасами  має велике значення, 0 1: якщо значення с₃ мале порівняно з с₂ , то близьке до нуля, якщо ж, навпаки, значно перевищує його, то близьке до одиниці. Таким чином, можна розглядати як міру припустимості дефіциту - якщо дефіцит не допускається, то с₃ = , тобто =1.

Припустимо тепер, що витрачання запасу здійснюється неперервно з однаковою  інтенсивністю

(рис. 1). 

      b)

      а) 
 
 
 
 
 
 
 

      t

     0 Т t T₁            T₂ 

Рис.1. Витрачання запасу з постійною інтенсивністю

 

Варіант а) відповідає випадку, коли попит не перевищує запасу (r s ), а

b) - коли попит перевищує запас (r > s).

Насправді витрачання запасу здійснюється невеличкими  стрибками (пунктирна ламана на рис.1 а) , але пряма є непоганим наближенням до цієї ламаної.

Середній  запас, що відповідає варіанту а) , становить:

     .                                                                                            (6)

Середній  запас, що відповідає варіанту b)  з врахуванням того, що

    ,         ,    становить       .                                     (7)        

Таким чином, середній дефіцит продукту за період T₂ для випадку b)   буде

  ,                                                                                                            (8) 

і математичне  сподівання сумарних витрат становитиме:

.        (9)  

Доведено, що в цьому випадку математичне  сподівання сумарних витрат є мінімальним  при рівні запасу s* , для якого справедлива нерівність;

   , (10)

де      ,       . (11)

Ця модель є достатньо ідеалізованою, оскільки вважається, що поповнення запасу відбувається миттєво. Однак в багатьох задачах час затримання поставок виявляється значним, і його необхідно враховувати в моделі.

Нехай за час затримання поставок вже замовлені п партій по одній в кожному з періодів тривалістю Т = / n. Позначимо s₀ - початковий рівень запасу (до початку першого періоду), s_i , r_i , q_i - відповідно запас, попит та поповнення запасу за i -й період.

В цьому  випадку до завершення п -го періоду в комору надійде одиниць продукту, а використано буде одиниць, і, таким чином,

 ,  або   , (12)

де    ,         .

Необхідно визначити оптимальний об’єм партії замовлення, якій потрібно зробити на n -й період.                                                         

Математичне сподівання сумарних витрат визначимо  як:                

      ,                                                           (13) 

а оптимальний  запас - за співвідношенням:

               . (14) 
 

Знайшовши оптимальний запас  s* , та знаючи  q₁ , q₂ ,..., q_n-1     обчислимо:

. (15)

Аналітично  визначити оптимальні значення точки  запасу та об’єму партії вдасться лише в найпростіших випадках. Якщо ж система має складну структуру з багатьма видами продукції та коморами, то єдиним способом її аналізу виявляється імітаційне моделювання. 
 
 
 

2. Управління  запасами за умови, що попит характеризується нормативним законом  розподілу.

При необхідності поповнити запаси продукції розв’язується задача визначення розміру замовлення (чи розміру партії) продукції. Відновлення рівня запасів може здійснюватися або шляхом виконання замовлення на виготовлення деякого фіксованого обсягу продукції, зареєстрованого системою нижнього рівня, або шляхом виконання замовлення на вигоговлення об’єму продукції, рівного різниці між рівнем розміщуваного запасу (який дорівнює: Наявний запас + Об’єм замовлень - Очікувані витрати продукту) і максимальним рівнем запасів, дані про який також зберігаються в системі обліку.

Вирішуючі правила розробляються зазвичай на другому рівні трирівневої системи управління запасами для визначення економічно обгрунтованого оптимального розміру замовлення. Ці правила використовуються при визначенні запланованого чи максимального рівня запасу для конкретного типу чи типів продукції. 

Аналіз  та формування припущень щодо умов функціонування системи керування запасами. 

Різні підходи до розв’язання задачі визначення економічного розміру замовлення (партії продукції) базуються на тих чи інших  можливих припущеннях щодо таких  показників, як спосіб постачання замовленої продукції, інтенсивність реалізації продукції, витрати на освоєння виробництва нової продукції, собівартість одиниці продукції і поточні витрати на збереження запасів. Спочатку для кожного з перерахованих факторів робляться найпростіші припущення, а потім розглядаються умови, за яких можливі припущення виявляються кращими, ніж первісне. Оскільки вважається, що припущення щодо одного з факторів не пов’язані з припущеннями щодо інших факторів, то можливі сотні комбінацій факторів, що приводять до різних вирішуючих правил. З такої множини вирішуючих правил можна обрати найприйнятніше, однак доцільність того чи іншого вибору визначається з врахуванням конкретної ситуації, у якій ці правила будуть реалізовані.                                                             

Розглянемо  деякі можливі припущення щодо зазначених факторів.  

 

Спосіб  постачання замовленої продукції. 
 

 Річний  показник

             Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                            Час 

Рис. 2. Наявний запас  при одержанні  замовлення однієї партії 

1) Уся  замовлена продукція постачається у вигляді однієї партії. Відповідно до моделі, наявний запас зростає від мінімального рівня таким чином, що до початку наступного циклу досягає розміру партії.

2) Продукція  надходить в комору з моменту  початку виробничого циклу протягом  інтервалу часу, достатнього для реалізації продукції до постачання всієї партії (рис. 3).