Стохастичні моделі управління запасами

                                                                                                                         (1)

Щоб знайти R , необхідно знати розподіл випадкової величини Q .

1. Нехай  випадкова величина Q має нормальний розподіл з математичним сподіванням q і середнім квадратичним відхиленням .   Як відомо, функція щільності вірогідності при цьому буде мати вигляд:

  .                                                                                                               (2)

В якості випадкової величини введемо відхилення випадкової змінної Q від її математичного сподівання q , висловленого в середньоквадратичному відхиленні:                     

.                                                                                                                        (3)  
Задача при цьому полягає в тому, щоб знайти таке значення u_{p ,}  для якого справедлива рівність:

. (4)

Значення  и_р  , яке задовольняє рівності (4),можна знайти з таблиць нормального розподілу. З рівнянь (2) і (3) випливає, що величина страхового запасу, відповідно рівню обслуговування р , повинна задовольняти рівність:

     .                                                                                                                   (5) 

Наприклад, при и_р = 3 , тобто при  R = 3 коефіцієнт ризику  р = 0,003; при R = 2     р = 0,046 ; при R =         р = 0,317.

Таким чином, при нормальному розподілі  величину страхового запасу повністю визначають заданий коефіцієнт обслуговування, тобто вірогідність того, що заданий  рівень запасу практично буде достатнім.

Враховуючи  рівність (5), середній рівень запасу, який задовольняє потреби з ймовірністю (1-p) , висловиться формулою:

  .                                                                                                                            (6)

2. Нехай  випадкова величина попиту розподілена за законом Пуасона. Функція густини вірогідності при розподілі за цим законом має вигляд:

   .                                                                                                                               (7)

Можна показати, що якшо    , то розподіл за законом Пуасона зводиться до особливого виду нормального розподілу з математичним сподіванням q і середнім квадратичним відхиленням

. Тому величина страхового запасу становить

  .    (8)

3.  Розглянемо  випадок рівномірного розподілу  попиту. Як відомо, розподіл ймовірностей  називається рівномірним, якщо  на інтервалі, якому належать  всі можливі значення випадкової величини, функція розподілу випадкової величини має стале значення. Нехай   і    відповідно максимальне і мінімальне значення випадкової величини Q  . Так як

  ,  то          . (9)

Математичне сподівання рівномірно розподіленої випадкової величини рівне:

   . (10)

Величина  страхового запасу визначається з рівності (1). Знайдемо величину страхового запасу. Нехай Q_p - величина споживання з заданою ймовірністю р . Так як р - це вірогідність того, що створений страховий запас R буде недостатнім, то

                                                                                                       (11)

і, відповідно,                                                                           

,    (12)

тобто при рівномірному розподілі ймовірностей розмір страхового запасу прямо пропорційний різниці між максимально і мінімально можливою потребою.

4. Встановимо  зв’язок між коефіцієнтом ризику р і окремими затримками функціонування системи. Позначимо через S окремі затримки. Мінімізуємо математичне сподівання сумарних затримок, пов’язаних з зберіганням запасу і можливими втратами від дефіциту:

 . (13)

Оптимальне значення R знаходимо , розв’язуючи рівняння

  ,                                                                          (14)

звідси

    .                                                                                                                          (15)

Відзначимо, що   - це вірогідність того, що    , але

    ,         отже,   .

Таким чином, з рівняння (14) отримаємо:

  ,  звідси        .                                                                                        (16)

Знаючи  d і S , із формули (16) можна визначити припустимий коефіцієнт ризику. Своєю чергою, вираз (16) може застосовуватись для оцінки втрат від дефіциту.

Рішення шодо подачі замовлення на поповнення запасів приймається системою управління нижнього рівня і залежить від  результатів порівняння поточного  стану запасу (Наявний запас + Замовлений обсяг продукції - Заявки на замовлення) з максимальним значенням розумних потреб на інтервалі виконання, що зберігається як точка замовлення на нижньому рівні інформаційної системи. Відлік часу виконання постачання виробу в запаси (час випередження) починається з моменту одержання заявки, що зменшує наявний запас виробу нижче точки замовлення. Час постачання включає власне час опрацювання замовлення, час, необхідний постачальнику на виконання замовлення, і деякий необхідний надалі час на одержання матеріалів і передачу їх для використання.

Максимальний  розумний попит є сумою прогнозованого попиту протягом часу попередження і резервного запасу. Резервний запас дорівнює добутку коефіцієнта резервного запасу на стандартне відхилення помилок прогнозування попиту протягом часу виконання замовлення на поповнення запасу, тобто k .

Якщо  час попередження відомий з достатнім  ступенем точності, то величина стандартного відхилення може бути оцінена з урахуванням помилок прогнозування попиту. Якщо час випередження змінюється непередбачено, то для порівняння розподілу цього часу з розподілом помилок прогнозування небезпечно використовувати будь-яку модель. Результуючий розподіл дуже чутливий стосовно припущень щодо статистичної залежності (часто припускають незалежність), що існує між цими розподілами.

Між цими розподілами існує позитивна  або негативна кореляція і  реальні дані практично не дають  основ для припущення про незалежність цих розподілів. Інтервали випередження для продукції різного типу, природно, різні. Перше завдання полягає в тому, щоб знайти причину розходжень і, якщо можливо, усунути її. Багато компаній домовляються з постачальником про конкретні дати постачань, завдяки чому час попередження стає відомим, що, своєю чергою, дозволяє визначити необхідний рівень резервного запасу.

Якщо  практично неможливо керувати часом  випередження, то варто оцінювати  попит безпосередньо протягом цього часу. Відповідно до визначення, момент подачі замовлення на поповнення запасу є початком відліку часу випередження.

У розглянутих  нижче випадках припускаємо, що розподіл помилок прогнозу є нормальним з  нульовим середнім значенням. Добрий прогноз  має розподіл помилок з нульовим середнім, і якщо інтервал між послідовними перевірками прогнозу набагато менше, ніж одна третина часу випередження, то розподіл близький до нормального. Однак у тих випадках, коли час випередження менший, ніж інтервали між прогнозами, і, крім того, рівні запасів близькі до запитів споживачів, доцільно визначити вид розподілу помилок прогнозу для даного момент) часу, тому що з часом він може істотно змінюватися. Результати використання розглянутих правил прийняття рішень, що продукуються середнім рівнем системи управління запасами, застосовні до усіх випадків, якщо відповідно коректувати розподіл вірогідностей. Для зручності, звичайно, попит представляється як неперервна випадкова змінна.

Комбінуючи  елементарні операції управління та вирішуючі правила, можна створити моделі систем управління запасами різної структури, і шляхом моделювання з використанням реальної інформації за минулі періоди обрати найвідповідніший варіант для реалізації в конкретних умовах.

Досить  глибоке розуміння теоретичних  основ розробки правил ухвалення  рішення щодо поповнення запасів може бути досягнуте при дослідженні моделей системи управління запасами з нульовим часом постачання чи замовленнями з детермінованим попитом. При використанні систем управління запасами, як правило, доводиться мати справу з випадковим попитом протягом часу постачань замовлень. Більшість теоретичних результатів отримано в припущенні, що дане вирішуюче правило буде застосовуватися багаторазово, однак у дійсності реальні інтервали постачань матеріалів, затрата і розподіл попиту змінюються в часі. Таким чином, прийняте в даний момент рішення щодо поповнення запасів є найкращим лише для цього моменту.

Розглянемо  деякі можливі методи рішення  задач нижнього рівня системи, тобто  задач розміщення чергового замовлення на поповнення запасу деякої продукції і визначення розміру цього замовлення. 

Подача  незалежних замовлень  на поповнення запасів.

У тих  випадках, коли можна замовити будь-яку  продукцію в будь-який час, незалежно  від стану справ із продукцією інших типів, можна використовувати наступні моделі для визначення обсягу і термінів замовлення. 

Модель  точки замовлення і розміру партій.

Точка замовлення чи рівень запасу, при якому  подається замовлення на поповнення, обчислюється для кожного типу продукції на основі обліку поточної прогнозованої потреби в ній на інтервалі часу постачання поповнення і деякого резервного запасу.

Останній  дорівнює добутку стандартного відхилення розподілу помилок прогнозу протягом часу постачання на коефіцієнт резервного запасу. Коефіцієнт страхового запасу може бути обчислений у результаті застосування вирішуючих правил чи їхньої модифікації.

Система першого рівня відслідковує стан запасу, що дорівнює: Рівень наявного запасу + Об’єм замовлених постачань - Об’єм врахованих, але не виконаних заявок чи Об’єм продукції по інших зобов’язаннях. У тих випадках, коли рівень наявного запасу знижується в результаті задоволення попиту до чи нижче точки замовлення, подається замовлення на поповнення запасу. Об’єм замовлення обчислюється на підставі придатного вирішуючого правила, що розробляється на другому рівні системи управління запасами. Отриманий об’єм замовлення може бути округлений до величини, зручної з погляду одержання постачань чи кратного числа упакувань без істотного скорочення економічної вигоди. Вирішуючі правила другого рівня звичайно перевіряються через певні інтервали часу, наприклад, один раз на місяць, і результати фіксуються на нижньому рівні системи керування запасами.

Такий найпростіший для розуміння і  застосування спосіб досить часто виявляється  й ефективним. Наприклад, у виробництві фарб і ліків розмір цистерн фізично обмежує об’'єм замовлення, так що має сенс лише визначений заздалегідь об’єм партії, що замовляється. 

Модель  з фіксованим інтервалом.

Якщо  постачальник приймає замовлення лише протягом певного інтервалу часу, то прийом замовлень між цими інтервалами відсутній. Наприклад, машинобудівний завод може приймати замовлення тільки до 24 числа кожного місяця, оскільки до цього часу закінчується формування плану виробництва на черговий місяць, інший приклад - корабель-постачальник, що постачає кораблі деякої флотилії і прибуває до них один раз на 10 днів. В обох зазначених прикладах споживач змушений чекати, поки постачальник буде готовий до прийому нового замовлення. У цьому випадку точка замовлення чи мінімальний рівень запасу обчислюється на основі прогнозу потреб протягом часу постачання поповнючого запасу і додаткового інтервалу чекання можливості подачі замовлення з врахуванням, як і раніше, резервного запасу, що компенсує помилки прогнозу потреб протягом усього розглянутого інтервалу.