Численное интегрирование

Лабораторная  работа №4

Тема: «Численное интегрирование» 

     Задача 8.1. Вычислить значение интеграла , где , с помощью квадратурных формул трапеций и Симпсона для элементарного отрезка интегрирования. Оценить величину погрешности. Применяя те же квадратурные формулы для составного отрезка интегрирования, вычислить интеграл с точностью 0.0001. Предварительно оценить шаг интегрирования, при котором достигается заданная точность.  

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧИ:

1. Вычислить значение интеграла аналитически.
2. Задать многочлен . Вычислить значение интеграла по формулам трапеций и Симпсона, считая отрезок элементарным отрезком интегрирования.
3. Найти абсолютные погрешности результатов.
4. Используя выражение для остаточных членов интегрирования (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 8.C), оценить шаги интегрирования, при которых величина погрешности каждой квадратурной формулы будет меньше 0.0001.
5. Вычислить значения интеграла по составной квадратурной формуле с найденным шагом.
6. Найти абсолютные погрешности результатов.

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

 

 

 
 

 

 
 
 

 
 
 

Задача 8.3. Вычислить значение интеграла,  используя формулу центральных прямоугольников,  с шагом от до . Построить график зависимости абсолютной погрешности результата от . Сравнить полученную погрешность с теоретической оценкой абсолютной погрешности.

 
 

 

 
 

 
 

 
 
 
 

 

 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 

 
 
 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

Задача 8.6. Вычислить значение интеграла из задачи 8.1, используя квадратурную формулу Гаусса с одним, двумя, тремя, четырьмя узлами (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 8.C). Определить абсолютную погрешность результата. Построить гистограмму зависимости погрешности от числа узлов. Убедиться, что квадратурные формулы Гаусса с N+1 (N=0,1,2,3) узлом точны для многочленов 1, t,…,t^m, m=2N+1.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

 

 

 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вывод: в данной лабораторной работе было изучено численное интегрирование.