Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1r4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

ign="justify">     Исходя  из (12) и (14), получим =. Следовательно, ==0.

     Î.

     Значит, раскладывается по векторам ,,, задающим . Значит, =0, а следовательно =0.

. Пусть k₁(s). 
 
 

Деривационные формулы запишутся в виде:

 
 
 
 
 
 
 
 

 

     

§3. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверхностях  

     Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую поверхность мы будем  строить следующим образом.

      Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть r — ее текущий радиус-вектор, а u - параметр, к которому она отнесена, r = r(u). Эту кривую мы будем называть направляющей. В каждой точке этой кривой зададим единичный вектор, который будет являться, таким образом, также функцией параметра u вдоль кривой, l=l(u).

      Через каждую точку N направляющей линии  с радиус-вектором r(u) проводим прямую параллельно вектору l(u),.отвечающему этой точке. В результате мы получаем в пространстве семейство прямых (Рис. 3.1) от одного параметра, именно от u. Эти прямые мы будем называть образующими. Выбор образующей определяется, таким образом, значением u; что же касается выбора какой-нибудь точки М на этой образующей, то его мы будем характеризовать расстоянием NM по образующей от направляющей линии до точки М. При этом расстояние NM мы берем со знаком, принимая на образующей направление l за положительное. Будем обозначать расстояние NM коротко через v, NM=v.

     В таком случае радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей, определяемой значением , можно записать в виде  

     где  r(u), ;

действительно, вектор NM коллинеарен единичному вектору  и потому отличается от него лишь скалярным множителем, равным длине NM с соответствующим знаком, т. е. множителем v.

     Итак, окончательно r.

     В результате радиус-вектор произвольной точки М на произвольной образующей выразился как функция двух независимых параметров u, v. Мы получили, таким образом, параметрическое представление линейчатой поверхности, именно той, которая образована прямыми (образующими) построенного нами однопараметрического семейства прямых.

     Фиксируя  в этом уравнении u и меняя v, мы движемся, очевидно, по образующей, отвечающей данному значению u. Следовательно, семейством координатных линий v у нас будут служить образующие. Если же фиксировать v и менять u, то мы идем по образующим «параллельно» направляющей линии в том смысле, что расстояние NM = v остается постоянным.

     Таким образом, координатные линии u образуют семейство линий, «параллельных» направляющей линии, которая сама также входит в это семейство и отвечает случаю, когда v фиксировано на значении 0.

     Заметим, что направляющая линия геометрически  ничем на заданной линейчатой поверхности  не выделяется. В качестве направляющей может быть взята любая кривая на линейчатой поверхности, последовательно пересекающаяся с ее образующими; произвол этот отразится только на выборе параметров u, v на поверхности.

     Вычислим  теперь частные производные радиус-вектора  по параметрам. Очевидно,

           (16)

     Составим  векторное произведение этих векторов, направленное, как мы знаем, по нормали к поверхности:

           (17)

     Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности, когда точка движется по поверхности вдоль какой-нибудь образующей, т. е. когда мы меняем v при фиксированном u. Так как , l являются функциями только u, то векторные произведения и остаются постоянными, и правая часть (17) может меняться лишь вследствие изменения коэффициента v.

     Здесь мы будем различать два случая, общий и специальный.

     Общий случай: векторные произведения и не коллинеарны. В этом случае при движении вдоль образующей, т. е. при изменении v, первое слагаемое в правой части (17) постоянно, второе же, ему не параллельное, изменяется пропорционально v. В результате вся правая часть представляет собой вектор, направление которого меняется вместе с v.

      Следовательно, вдоль образующей направление  нормали к поверхности меняется от точки к точке. Очевидно, что  касательная плоскость в какой-нибудь точке на данной образующей проходит через эту образующую (так как образующая является своей собственной касательной). Поэтому при движении точки касания вдоль образующей касательная плоскость, все время проходя через образующую, вращается около нее. В этом случае линейчатая поверхность называется косой (Рис. 3.2).

     Специальный случай: векторные произведения и коллинеарны.

      В этом случае оба слагаемых в правой части (17) параллельны друг другу (а следовательно, и своей сумме) при любом значении v. Таким образом, все нормали вдоль данной образующей параллельны между собой, так как они параллельны векторам и . Когда точка касания движется вдоль образующей, то касательная плоскость проходит все время через образующую; и так как касательная плоскость должна, кроме того, оставаться перпендикулярной к неизменному направлению нормали, то она не может вращаться около образующей и остается неподвижной.

     Итак, в рассматриваемом случае касательные  плоскости к поверхности в  точках, расположенных на одной и  той же образующей, совпадают между  собой. Такую линейчатую поверхность  мы будем называть развертывающейся поверхностью (Рис. 3.3).

     Обратно, если мы имеем развертывающуюся поверхность, т. е. касательная плоскость для  всех точек образующей одна и та же, и нормали вдоль образующей параллельны, то направление вектора (17) не зависит от значения v, что возможно лишь в случае ||  (18)

     Таким образом, условие (18) необходимо и достаточно для того, чтобы линейчатая поверхность оказалась развертывающейся. Этому условию можно придать более простую форму.

     Общее направление двух векторных произведений будет ортогональным ко всем их множителям, т. е. к векторам , , которые, таким образом, оказываются компланарными (параллельными одной плоскости).

     Легко видеть, что это условие и достаточно. Итак, условие (18) может быть переписано в эквивалентном виде , компланарны, т.е.  
(, = 0.  (19).

     Это условие наложено, как мы видим, на вектор-функции (радиус-вектор направляющей кривой) и , (единичный вектор на образующей). Плоскость векторов (19) будет параллельна векторам (16) при любом значении v, т. е. параллельна касательной плоскости, проходящей через соответствующую образующую.

 

§4. Торсы в пространстве ¹R₄ 

     Рассмотрим  кривую  (20) в пространстве ¹R₄.

     Определение 4.1. Торсом в пространстве ¹R₄, определенном кривой g называется поверхность, образованная всеми касательными к этой кривой.

     Сама  кривая g называется ребром возврата этого торса. Каждая касательная к ребру возврата называется прямолинейной образующей торса.

     Уравнение торса

       
 
 
 
 
 

 
 

           (21)

     (21) – уравнение торса, определяемого  ребром возврата .

     Исследуем торс (21) в пространстве ¹R₄, обозначив при этом t = u, t = v.

     Тогда уравнение торса (21) запишется в  виде: . (22)

     По  теореме о развертывающейся линейчатой поверхности векторы  должны лежать в одной плоскости. Очевидно, что данные вектора лежат в одной плоскости, т.к. два из них одинаковы. Следовательно, торс развертывающаяся линейчатая поверхность, а значит, касательная плоскость к торсу в любой его точке не зависит от параметра v, что легко доказать. Действительно из формул (22) получим:

     Þ

     Это означает, что базисы {} и {} выражаются друг через друга. Из этого следует, что  (23), при любом параметре v, значит касательная плоскость к торсу одна и та же вдоль образующей. Известно, что соприкасающаяся плоскость к кривой g в точке M определяется векторами . Таким образом, исходя из формулы (23) получим, что соприкасающаяся плоскость ребра возврата g - есть касательная плоскость к торсу.

     Рассмотрим  торс пространства ¹R₄, порожденной кривой определяемый уравнением (23). Введем координатные линии на поверхности торса: u-линии (v=c) и v-линии (u=c). Найдем скалярное произведение векторов

        (24)

     В общем случае относительно величин  и ничего сказать нельзя. Поэтому будем делать предположение относительно кривой g. Предположим, что касательный вектор к кривой g во всех точках является вектором действительной длины. На ребре возврата g выбираем естественную параметризацию. Пусть u=u(s), тогда и Параметр s обозначим через u,  
получим , т.е. вектор имеет постоянную длину, тогда поскольку , из (24) следует, что , а значит координатные линии на торсе в такой системе координат не ортогональны. Перейдем к новым координатам U и V так, чтобы координатные линии были ортогональны, причем заметим, что 
v-линии – это прямолинейные образующие торса. При переходе к новым координатам потребуем, чтобы семейство v-линий осталось прежним, а  
u-линии изменились и стали перпендикулярны v-линиям. Таким образом, перед нами стоит задача отыскания ортогональных траекторий к прямолинейным образующим торса.

     Рассмотрим  первую квадратичную форму поверхности, которая при условии, что касательная  плоскость к торсу является псевдоевклидовой.

     Пусть S – гладкая поверхность, - ее векторное уравнение и

     Первой  квадратичной формой поверхности S называют выражение I=.

     Запишем это выражение подробнее. Имеем

        
откуда  . (25)

     Выражение (25) в каждой точке поверхности S представляет собой квадратичную форму от дифференциалов du и dv.

     Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие  обозначения:

     .

     Таким образом первая квадратичная форма имеет вид:

                          (26)

      Угол  между кривыми равен углу между касательными. Пусть гладкие кривые x₁ и x₂ лежат на поверхности S с векторным уравнением и пересекается в некоторой точке X₀. 

     Вектор  лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке X₀ (Рис.4.2).