Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1r4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

 

     Значения  дифференциалов можно выбрать так, чтобы был вектором касательной к кривой x₁ в точке X₀. Достаточно взять () (здесь u=u(t) и v=v(t) – уравнения кривой x₁ на поверхности S).

     Аналогично  строится вектор - вектор касательной к кривой x₂ в точке X₀, отвечающий значениям дифференциалов , функций, определяющих кривую x₂:

      .

      Поэтому 

     Требуется, чтобы ортогональные линии были ортогональны, т.е.  

     Учитывая, что u – естественный параметр, найдем коэффициенты E, F, G: 
 
 

     Подставляя  полученные выражения в (26) имеем 

     Воспользовавшись (27) и полученными выражениями  для коэффициентов, получим  Разделим последнее равенство на , получим  

     Исходное  семейство линий задано дифференциальным уравнением

, а ортогональные  траектории получены  в виде  Подставляя эти выражения в (28), имеем уравнение для , из которого . Учитывая, что исходное семейство линий – это v-линии, для которых du=0, а значит l=0, получим m=-1. Таким образом, , решая это дифференциальное уравнение, находим u+v=const – условие ортогональности траекторий. Итак, искомая замена координат имеет вид: 

     Тогда обратная замена:

     Уравнение торса в новых координатах  примет вид: 

     Обозначим U, V теми же символами u, v тогда уравнение торса перепишется следующим образом:

     . (29)

     Рассмотрим  на торсе (29) кривую u=u(t), v=v(t). (30)

     Получим ее уравнение в виде:

     .  (31)

     Направляющий  вектор касательной:

     .  (32)

     Касательная к любой кривой, лежащей на торсе  и проходящей через данную точку  N, лежит в плоскости Эта плоскость будет называться касательной плоскостью к торсу и обозначается

     Найдем  векторы . Из уравнения (29) получим:

     .

      Таким образом, плоскость определяется точкой N торса и векторами , и следовательно, совпадает с соприкасающейся плоскостью ребра возврата g. 
 
 
 

       

     Получена  теорема.

     Теорема 4.1. Касательная плоскость к торсу в произвольной точке прямолинейной образующей совпадает с соприкасающейся плоскостью к ребру возврата в точке касания прямолинейной образующей.

     Построим  канонический репер в произвольной точке N торса. Будем считать параметр u естественным параметром ребра возврата. Тогда согласно (9): Введем следующие обозначения:

      Тогда - векторы единичной длины, взаимно ортогональные и лежат в касательной плоскости к торсу в точке N, совпадающей с соприкасающейся плоскостью ребра возврата, причем идет по прямолинейной образующей, а ему ортогонален. 

       
 

     Вектора получим из векторов соприкасающегося репера ребра возврата параллельным переносом в точку L. При этом получим репер в произвольной точке L торса, с условием

. (33)

     Уравнение (33) целиком определяется торсом. Этот  
репер будем называть каноническим репером торса.

     Найдем  деривационные формулы канонического  репера торса с учетом того, что зависят только от u. С учетом (14) и (15):

  и  (34)

§5. Линии на торсах пространства Минковского 

     Рассмотрим  торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29) .

     Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата имеет тип 2⁰: {M, R₁, ¹R₂, ¹R₃, ¹R₄}, где параметр u есть естественный параметр на ребре возврата g. В данном случае на торсе строится канонический репер {M, }. Деривационные формулы этого репера имеют вид (34).

     Определение 5.1. Кривая d: u=u(t); v=v(t)  (35)

на торсе  Т называется (k,n) – геодезической, если соприкасающаяся  
n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k – мерную нормаль к торсу.

     Возможны  варианты: (1,2); (1,3); (2,3). Выясним существуют ли такие геодезические кривые на торсе данного типа. Касательная  плоскость к торсу в точке  L есть плоскость , а нормальная плоскость к торсу . Найдем соприкасающуюся 2-плоскость линии  
d: r=r(u(t),v(t)). Эта плоскость определяется так: . Находим производные вектор - функции, преобразуем их с помощью деривационных формул (34):

      (36) 

      (37)

+++

+++++

++

++

++

+++

++

++

++++

+ 

  +

+(

++

+)+(+)+ (38)

     Нормаль к торсу  зададим в виде: . С другой стороны, нормаль к поверхности, исходя из определения, содержится в соприкасающейся 2-плоскости , т.е. . Составим уравнение

=p()+q().

     Сгруппировав  коэффициенты при , получаем систему:

 

Из системы  видим, что если (1,2) – геодезическая  линия существует, то она определяется нормалью . Учитывая этот факт, преобразуем систему следующим образом: 

     Таким образом, уравнение (1,2) – геодезической  линии можно представить в  виде нормальной системы дифференциальных уравнений:

   (39)

     Теорема Пикара. Если правые части системы

 

в некоторой  окрестности начальной точки () имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по , то система имеет единственное решение, определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальным условиям

.

     Согласно  теореме Пикара система (39) имеет  единственное решение. Значит, через  каждую точку торса в каждом направлении  касательной плоскости проходит единственная (1,2) – геодезическая  линия.

      Пусть d: r=r(u(t),v(t)) на торсе является (2,2) – геодезической. Тогда, согласно определению, система (38’) должна быть разрешима при любых коэффициентах и , но т.к. , то это условие не выполняется. Значит, на торсе с касательной псевдоевклидовой плоскостью не существует (2,2) – геодезических линий. 
 
 
 
 
 

     Теорема 5.1. Геодезических линий типа (2,2) на торсе нет.

     Рассмотрим вопрос о существовании (1,3) – геодезических линий на торсе. Соприкасающуюся 3-плоскость к кривой в некоторой точке можем задать линейным уравнением

A₁x₁+B₁x₂+C₁x₃+D₁x₄+E₁=0,нормальная плоскость задается системой 

      Таким образом, нормальная плоскость и соприкасающаяся 3-плоскость всегда имеют пересечение, являющееся не менее чем прямой. Значит, любая линия на рассматриваемой  поверхности является (1,3)-геодезической. 
 
 

 

     Теорема 5.2. Линии типа (1,3) всегда есть. Любая линия есть геодезическая типа (1,3).

     Рассмотрим  вопрос о существовании (2,3) – геодезических  линий на торсе. По определению нормальная плоскость  содержится в соприкасающейся 3-плоскости , то для любых коэффициентов и уравнение = разрешимо.

=+(

)+( +

+(

++

+)+(+)+).

     Сгруппировав  коэффициенты при , получаем систему: 

     Представим данную систему в виде нормальной системы дифференциальных уравнений, получим: 

     Система имеет единственное решение, согласно теореме Пикара. Значит на торсе через каждую точку в каждом направлении касательной плоскости проходит (2,3) – геодезическая линия.

     Теорема 5.3. На торсе через каждую точку в каждом направлении касательной плоскости проходит (2,3) – геодезическая линия.

Таких геодезических линий проходит бесконечное  множество.

 

§6. Асимптотические линии на торсе пространства Минковского 

     Определение 6.1. Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении обращается в нуль.

     Определение 6.2. Нормальной кривизной кривой на поверхности пространства Минковского называется проекция вектора кривизны этой кривой на нормальную плоскость к поверхности в этой точке.

     Определение 6.3. Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если в каждой своей точке она имеет асимптотическое направление.

     Определение 6.4. Вектором кривизны кривой на поверхности пространства Минковского будем называть вектор , где s – естественная параметризация на этой кривой.

     Пусть - произвольная кривая на торсе. Построим канонический репер кривой в точке N: . Нормальная кривизна кривой в точке N – это проекция вектора кривизны на нормаль к поверхности. В пространстве ¹R₄ к поверхности в данной точке существует целая плоскость нормалей, поэтому необходимо определить нормаль, на которую будет проецироваться вектор кривизны. Координаты вектора в репере согласно формуле (37) равны: 

º(A;B;C;0)

     Нормальную  кривизну определим как длину отрезка NL₁, где L₁ – точка пересечения плоскости и проходящей через точку L, с нормальной плоскостью . Определим координаты точки L₁: x₁=0, x₂=0,  x₃=0, x₄=0; Þ x₃=C, x₄=0. Значит, , т.е. нормальная кривизна кривой на торсе пространства Минковского, с псевдоевклидовой касательной плоскостью, является действительной величиной.

     Определим геодезическую кривизну кривой как длину отрезка NL₂, где L₂ – точка пересечения плоскости с касательной плоскостью . Определим координаты точки L₂: x₃=0, x₄=0; x₁=0, x₂=0; Þ x₁=A, x₂=B. Следовательно, координаты точки L₂: x₁=A, x₂=B, x₃=0, x₄=0. |NL₂|=.

     Рассмотрим  нормальную кривизну . Справедлива формула первой квадратичной формы поверхности:  
, таким образом,