Функції комплексної змінної та їх похідні

Оскільки  довжина однієї сторони трикутника менша за суму довжин двох інших його сторін і більша за їх різницю, то звідси, спираючись на геометричний зміст модуля комплексного числа, маємо:

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|,   |z₁ + z₂ ≥ ||z₁| -|z₂|,

тобто модуль суми двох комплексних  чисел не перевищує суми модулів  цих чисел, але не менший від модуля різниці цих модулів. Знак рівності тут матимемо лише в тих випадках, коли точки z₁, z₂ і початок лежать на одній прямій. Нерівність для модуля суми двох комплексних чисел за індукцією легко поширюється на суму п доданків:

|z₁+z₂+…+z_n| ≤ |z₁|+|z₂|+…|z_n|.

Різницею z₁ - z₂ двох комплексних чисел z₁ = x₁ + іу₁ i z₂ = х₂ + іу₂ називається число z, що є розв'язком рівняння

z₁ = z + z₂.

Такий розв'язок існує, він єдиний і дорівнює числу (x₁ - x₂) + i(y₁ - y₂). Отже,

z₁ - z₂ = (x₁ - х₂) + i (y₁ - y₂).

Звідси 

Re (z₁ - z₂) = Re z₁-Re z₂ , Im (z₁ - z₂) = Im z₁ - Im z₂.

З рівності

|z₁-z₂|=|(x₁-x₂)+iy₁-y₂|=

робимо висновок, що модуль різниці двох комплексних чисел дорівнює відстані між точками, що відповідають цим числам. У зв'язку з цим рівняння кола радіуса r з центром у точці z₀ = х₀ + іу₀ матиме вигляд

|z - z₀| = r.

А точки z = х + iy, для яких |z - z_⁰| < r, лежать всередині круга радіуса r з центром у точці z_⁰

Часткою двох комплексних чисел z^₁ = x^₁ + іу^₁

і z₂ = х₂ + iy₂ ≠ 0 називається число z, що є розв’язком рівняння

z₂ = zz₂.

Цей розв'язок існує, він єдиний і дорівнює комплексному числу

.

Таким чином,

(z₂=x₂+iy₂≠0).

 

За означенням маємо:

звідки

,

і, отже,

= ,

тобто модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці їх модулів, і

тобто аргумент частки двох комплексних чисел дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Коренем n-го степеня з комплексного числа z називається комплексне число ζ, яке є розв'язком рівняння

ζⁿ=z

де z - задане комплексне число, п - натуральне число. Такий розв'язок існує. Більше того, при z≠0 існує n різних комплексних чисел ζ₀, ζ₁, …, ζ_n-1 таких, що

     (k = 0, 1, 2, …, n - 1).

Ці числа, що позначаються символом , обчислюються за формулою

^{(k = 0, 1, 2, ..., n-1),}

де  є додатне значення кореня . Геометрично ці n значень виразу зображаються вершинами деякого правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса центром у початку.

Число =  х - іу називається спряженим відносно числа z = х + іу. Оскільки = х + іу = z, то і - взаємно спряжені числа. Для них справедливі рівності:

|

| = | |,   = х² + y² = |z|²,

і якщо z не є дійсним від'ємним числом, то

arg

= - arg z.

Для від'ємного z маємо:

arg z- arg

= π.

Точки і в комплексній площині розташовані симетрично відносно дійсної осі.[3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. функції  комплексної змінної та їх  властивості. Множини точок у  площині

 

2.1. Поняття функції.

Нехай дано множину Е комплексних чисел. Якщо кожному числу z Е за певним законом поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел ω, то кажуть, що на множині Е визначено функцію комплексної змінної, і пишуть ω = f (z). Множина Е при цьому називається областю визначення, або областю існування функції, z - незалежною змінною, або аргументом, ω - залежною змінною, або функцією. Якщо кожному числу z Е ставиться у відповідність тільки одне число ω, то функція ω = f (z) називається однозначною; в противному випадку вона називається многозначною. Далі здебільшого матимемо справу з однозначними функціями.

Позначимо через F множину всіх значень функції ω = f (z) для z Е. Зобразимо комплексні числа z з множини Е у вигляді точок комплексної площини (z), а комплексні числа с ω з множини F - у вигляді точок площини (ω). Відповідні множини точок позначатимемо тими ж буквами Е і F. Отже, функція ω - f (z) встановлює відповідність між точками множин Е і F. У цьому випадку кажуть, що функція ω = f (z) здійснює відображення множини Е точок площини (z) на множину F точок площини (ω).

Припустимо, що функція ω = f (z) однозначна. Тоді кожній точці z з множини Е вона ставить у відповідність одну і тільки одну точку з множини F. При цьому дві або кілька точок множини Е можуть бути поставлені у відповідність одній точці з множини F.

Наприклад, однозначна функція ω = z², яка визначена в усій площині, двом різним точкам z₁ = -2 і z₂ = 2 ставить у відповідність одну точку ω = 4.

Візьмемо  довільну фіксовану точку ω з множини F і поставимо їй у відповідність ті точки множини Е, яким функція ω = f (z) поставила у відповідність точку ω. Цим самим на множині F визначається функція z = φ (ω), яка називається оберненою функцією відносно функції ω = f (z) і часто позначається так: z = f^-1 (ω). Функція ω = f (z) при цьому називається прямою функцією. Ясно, що коли пряма функція ω = f (z) однозначна, то обернена функція z = f^-1 (ω) може бути як однозначною, так і многозначною. Наприклад, для функції ω = 2z + 1 обернена функція z = f^-1(ω)= = однозначна,  а для функції ω = z² обернена z f^-1 (ω) = многозначна (двозначна). Для того щоб обернена функція z = f^-1 (ω) була однозначною, необхідно і достатньо, щоб пряма функція ω = f (z) кожним двом різним точкам з множини Е ставила у відповідність, дві різні точки множини F, тобто щоб функція ω = f (z) відображала множину Е на множину F взаємно однозначно.

Функція ω - f (z), яка визначена на множині Е, називається обмеженою на цій множині, якщо існує число С > 0 таке, що |f (z) | ≤ С для всіх z Е.

В теорії функцій комплексної змінної  найчастіше розглядатимемо функції, які визначені не на довільній множині, а на спеціальних множинах, що їх буде розглянуто в наступних пунктах.

 

2.2. Поняття  області.

Нехай Е - множина точок комплексної площини. Точка z₀ Е називається внутрішньою точкою множини Е, якщо досить малий окіл цієї точки цілком належить множині Е. Множина Е називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою для неї. Відкрита множина називається областю, якщо довільні дві її точки можна сполучити ламаною, яка цілком належить цій відкритій множині. Область позначатимемо буквою D. Точка z₀, в довільному околі якої є точки як належні області D, так і не належні їй, називається межовою точкою області D. Множина всіх межових точок області D називається межею цієї області. Область D разом із своєю межею називається замкненою областю і позначається D. Неважко показати, що межа області і замкнена область є замкнені множини. Точка, в досить малому околі якої немає жодної точки області D, називається зовнішньою точкою цієї області.

Наведемо приклади, які  пояснюють введені нами поняття,

 а) Е - множина точок, що містяться у кругах | z-1| < < 2 і 1| 2 - 3i | < 1.

Кожна точка цієї множини є внутрішня  для  неї, тому  Е - відкрита множина. Проте Е - не область, оскільки дві її точки z = 1 і z = 3і не можна сполучити ламаною, яка б цілком належала Е.

б) Е - множина точок z, які задовольняють нерівності

.

Це множина точок, що містяться між двома променями, які виходять з початку і утворюють з додатним напрямом дійсної осі кути, що дорівнюють і . Вона є областю, причому необмеженою.

Межу цієї області  утворюють два промені: arg z = та arg z = .

в) Е - множина точок z, які задовольняють нерівності

l<|z - і\<2.

Це множина всіх точок, які містяться між двома колами радіусів 1 і 2 із спільним центром у  точці z = і; вона називається круговим кільцем і є обмеженою областю. Межа цієї області складається з двох кіл: | z - -і | = 1 і | z - і | = 2.

г) Е - множина точок, які задовольняють нерівності

0<|z- 1|≤2.

Ця множина є замкнений круг радіуса 2 з центром у точці z = 1, з якого виключено точку z = 1 - центр цього круга. Е не є відкритою множиною, а тому і не є областю, оскільки точки кола |z- 1| = 2 належать цій множині, не будучи її внутрішніми точками.

д) Е - множина точок, які задовольняють нерівності

0 ≤ Rez ≤ 1.

Е - це смуга, обмежена уявною віссю і прямою, яка паралельна уявній осі і міститься праворуч від неї на віддалі, що дорівнює одиниці. E не є відкрита множина і, отже, не є областю, оскільки точки уявної осі, не будучи внутрішніми точками множини Е, належать цій множині. Проте Е є замкнена необмежена область. Справді, множина точок z, які задовольняють нерівності                        0 < Re z < 1, утворює необмежену область. А прямі Re z = 0 і Re z = 1 утворюють межу цієї області.

Нарешті, зауважимо, що вся комплексна площина є приклад необмеженої  області, у якої немає межових точок.

 

2.3. Властивості  функцій, неперервних на замкненій  обмеженій              множині.

Функція, неперервна на замкненій  обмеженій множині, має ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не має функція, неперервна  на довільній множині. Доведемо три з цих властивостей.

Теорема 2. Функція, неперервна на замкненій обмеженій множині, обмежена на цій множині.

Доведення. Застосовуючи для доведення метод міркування від супротивного, припустимо, що неперервна на замкненій обмеженій множині F функція f (z) не обмежена на ній. Тоді для натурального числа п знайдеться точка z_n F така,  що | f (z_n) | > п.

Оскільки F - обмежена множина, то z_n - обмежена послідовність. За теоремою Больцано - Вейєрштрасса знайдеться підпослідовність , яка збігається до деякої точки z*. Точка z* є гранична для F, і оскільки F - замкнена множина, то z* F. В силу неперервності функції f (z) в точці z* послідовність f ( ) збігається до f(z*) і, отже, обмежена. З другого боку, | f ( ) | > n_k і, отже, f ( ) - необмежена послідовність. Ця суперечність доводить справедливість твердження теореми.

Теорема 3. Якщо функція f (z) неперервна на замкненій обмеженій множині F, то знайдуться дві точки z* і z**, які належать F і такі, що для довільного z F справедливі нерівності

|f(z*)| ≤ |f(z) |≤ |f(z**)|.

при цьому |f (z*)| називається мінімумом, a |f(z**)| - максимумом модуля функції f (z) на множині F.

Доведення. Доведемо існування точки z** F, для якої справедлива нерівність

|f(z) |≤ |f(z**)|                              (3.2)

для довільної точки z F. Доведення другої частини теореми проводиться аналогічно. За теоремою 2 функція f (z) обмежена на F. Введемо позначення:

M = sup|f(z)|.

Якщо існує точка z** F, для якої | f (z**) | = М, то нерівність (3.2) доведено. Припустимо, що така точка z** F не існує. Тоді функція

,

будучи неперервною на замкненій  обмеженій множині F, за теоремою 2 обмежена на ній, тобто

 для z F.

Звідси

і, отже,

,

що суперечить означенню числа М як точної верхньої межі функції |f(z)| на замкненій обмеженій множині F. Теорему доведено.

Теорема 4. Функція f (z), неперервна на замкненій обмеженій множині F, рівномірно неперервна на ній, тобто для довільного числа ε > 0 знайдеться число δ > 0, яке залежить тільки від ε і таке, що для довільних точок z' і z", які належать F і для яких |z' - z" | < δ.

Доведення. Припустивши супротивне, переконаємося в існуванні такого числа              ε₀ > 0, що при довільному δ > 0 нерівність буде справедлива принаймні для однієї пари точок z' і z" F, | z' - z" | < δ. Візьмемо послідовність чисел              δ_n > 0, яка збігається до нуля. Знайдуться точки z'_п і z"_n такі, що

 і    (n = 1, 2, ...).

Оскільки z_n F, то z_n - обмежена послідовність і за теоремою Больцано - Вейєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай →z* (k →∞). З нерівності випливає, що →z* (k →∞). Точка z*, будучи граничною для замкненої множини F, належить до цієї множини. В силу неперервності функції              f (z) в точці z* маємо:

,   (k →∞)

звідси

 (k →∞)

що суперечить нерівностям:

.

Теорему доведено. Оскільки кусково-гладка дуга і обмежена замкнена область є обмежені замкнені множини, то функції, неперервні на цих множинах, мають властивості, які сформульовано в теоремах 2-4 цього пунк

2.4. Ціла лінійна  функція.

 

Розглянемо три функції

                    ω = z + c,                                       (3.3)