Функції комплексної змінної та їх похідні

Однозначну функцію f (z) Коші називає аналітичною, або регулярною в області D, якщо вона в цій області має неперервну похідну f ' (z). З властивостей неперервних функцій і властивостей 2-9, зазначених у попередньому пункті, випливає, що стала функція f (z) ≡ с, многочлен φ (z) = а₀ + а₁z + +a₂z²  +...+ a_nzⁿ є аналітичні функції в усій комплексній площині, оскільки їх похідні f ' (z) ≡ 0 і φ' (z) = а₁ + 2а₂z+ +…+ па_пz^п-1  перервні функції в цій площині.

Якщо f (z) і φ (z) - аналітичні функції в області D, то в цій області аналітичними будуть також і функції сf (z), f (z) ± φ (z), f (z) φ (z). Якщо f(z) і φ(z) - аналітичні функції в області D, причому φ(z) не тотожня нулю, то частка буде аналітичною функцією в області D*, утвореній з області D виключенням з неї тих точок z, в яких функція φ (z) перетворюється в нуль. Отже, дробова раціональна функція

Є аналітична функція в області, яку дістаємо з усієї комплексної площини виключенням тих її точок, в яких знаменник дробу перетворюється в нуль. Число цих прикладів буде збільшене після того, як ми з'ясуємо ряд питань, зв'язаних з поняттям аналітичної функції. [7]

 

3. 3. Диференціювання степеневого ряду.

 

В попередньому пункті ми показали справедливість рівності (exp z)' = exp z. Але якби exp z ми подали у вигляді суми степеневого ряду exp z = і продиференціювали цей ряд почленно, то дістали б той же результат. Цей факт наводить на думку, що сума кожного степеневого ряду є диференційовна функція всередині круга збіжності цього ряду і що f ' (z) дорівнює сумі ряду утвореного почленним диференціюванням даного ряду. Це справді так. Справедлива така теорема.

Теорема 2. Нехай степеневий ряд

                                        (4.7)

має радіус збіжності R > 0. Тоді:

1) ряд

,                                             (4.8)

утворений почленним  диференціюванням ряду (4.7), має той самий радіус збіжності R;

2) сума f (z) ряду (4.7) є диференційовна функція в середині круга збіжності цього ряду, і має місце рівність

.                  (4.9)

Доведення. Позначимо радіус збіжності ряду (4.8) через R'. Нам треба довести рівність R = R'. Візьмемо довільну фіксовану точку z₁ ≠ z₀ з круга збіжності ряду (4.7) і покажемо абсолютну збіжність у цій точці ряду (4.8). Виберемо число ρ так, щоб

|z₁-z₀| < ρ < R.

Оскільки ряд (4.7) збігається абсолютно всередині свого круга збіжності, то ряд збігається. Тому його n-й член |a_n| ρⁿ  → 0 при n→ ∞. Послідовність |а_n| ρⁿ, будучи збіжною, обмежена. Отже, знайдеться число М > 0 таке, що

|a_n| ρⁿ  ≤ M   (n = 0, 1, 2, ...).

Тепер маємо

,                                 (4.10)

де 0<q = < 1.

Оскільки границя відношення (n + 1)-го члена до    n-го члена ряду дорівнює q, q < 1, то за ознакою д'Аламбера цей ряд збігається. Звідси і з нерівності (4.10) в силу ознаки порівняння випливає збіжність ряду . А це й означає що ряд (4.8) збігається абсолютно в точці z=z₁. Отже, R' ≥ R. Якщо R = +∞, то і R' = +∞. В цьому випадку рівність R' = R доведено.

Розглянемо випадок, коли R < ∞. Для доведення рівності R' = R нам досить показати, що R' ≤ R. Застосовуючи спосіб доведення від супротивного, припустимо, що R' > R. Тоді в точці z₂, яка задовольняє  нерівності  R < |z₂ – z₀| < R', ряд (4.8) збігається абсолютно, тобто збігається ряд . Але тоді збігатиметься і ряд , який утворено з попереднього ряду множенням всіх його членів на стале число | z₂ - z₀|. Оскільки

|a_n||z₂ - z₀|ⁿ≤n|а_n||z₂ - z₀|ⁿ   (n = 1, 2, ...),

то за ознакою порівняння збігається ряд  , тобто ряд (4.7) збігається, причому абсолютно, в точці    z = z₂, Що лежить поза кругом збіжності цього ряду. Прийшли до суперечності, яка й доводить нерівність  R' ≤ R. Вище було показано, що R' ≥ R. Цим рівність    R' = R доведено. Зауважимо, що рівність            R = R' можна було б довести і за допомогою формули Коші - Адамара.

Позначимо суму ряду (4.8) через

.

Щоб довести диференційовність  суми f (z) ряду (4.7) всередині його круга збіжності і справедливість рівності (4.9), досить показати таке: для довільної фіксованої точки z, взятої з круга збіжності ряду (4.7), і довільного   ε > 0 знайдеться            δ > 0 таке, що для 0<|∆z|<δ .

Справді, якщо це вже доведено, то

.

А це означає, що f (z) існує і що f ' (z) = φ (z).

Отже, нехай z - довільна фіксована точка, яка лежить всередині круга збіжності ряду (4.7). Візьмемо ∆z≠0 настільки малим, щоб точки z і z + ∆z лежали всередині круга з центром у точці z₀  радіуса ρ, ρ < R. Ясно, що число ρ залежатиме від вибраної раніше точки z. Задамо число ε > 0. Тоді в силу збіжності ряду знайдеться натуральне число N таке, що

.

Застосовуючи позначення

Β_n(z,∆z)=(z+∆z-z₀)^n-1+(z+∆z-z₀)^n-2(z-z₀)+…+(z-z₀)^n-1-    -n(z-z₀)^n-1,

маємо:

                  (4.12)

Скористаємося рівністю

а ⁿ – b ⁿ=(a-b) (a ^n-1+a^n-2 b+…+b ^n-1),

справедливою для довільних  комплексних чисел а і b. Оскільки | z - z₀ | < ρ,                      | z + ∆z - z₀| < ρ, то

|ρ_n(z, ∆z)|<2nρ^_n-1

і на підставі (4.11)

.                      (4.13)

Перший доданок правої частини рівності (4.12), якщо його розглядати як функцію ∆z, є многочлен степеня N, значення якого при ∆z = 0 дорівнює нулю. Але многочлен є неперервна функція, тому для > 0 знайдеться δ > 0 таке, що

 для | ∆z | < δ.                                (4.14)

З (5.12)-(5.14) при | ∆z | < δ маємо:

Теорему доведено повністю.

Укажемо на безпосередній наслідок доведеної теореми.

Наслідок. Сума степеневого ряду є аналітичною функцією всередині круга збіжності цього ряду.

Справедливість наслідку випливає з того, що f ' (z), будучи сумою степеневого ряду (4.9), за наслідком пункта про функціональні ряди, неперервна всередині круга збіжності цього ряду.

Як приклади на застосування теореми 2 обчислимо похідні від функцій  ехр z, sin z і cos z. Маємо:

,

,

 

3.4. Ряд Тейлора.

 

Нехай функцію f(z) у крузі |z - z₀|< R подано у вигляді суми степеневого ряду

f(z) = .                                   (4.15)

За теоремою 2 даного параграфа  ця функція має похідну f ' (z), причому

f ' (z) =

.

f ' (z) також становить суму степеневого ряду, то за цією ж теоремою 2 існує f " (z), причому

f " (z) =

.

Застосовуючи ще раз  теорему 2, дістанемо:

= ,

……………………………………

=

…………………………………………….

Звідси знаходимо:

^{f (z}₀^{) = а}₀ ^{,   f} '^(z₀^{) = 1!a}₁^{,   f} " ^(z₀^{) = 2!a}₂^{, ... , f (m) (z}₀^{) = = m!a}_m ^{,  ….}

Отже, коефіцієнти a_n степеневого ряду (4.15) виражено через значення в точці z₀ функції f(z) і її похідних:

a₀ = f (z₀), a₁ =

, a₂ = ,  … , a_n = ,   …

Ряд (15) тепер можна  переписати у вигляді

.                                    (4. 16)

Ряд, який стоїть у правій частині рівності (5.16), називається р я дом   Тейлора функції f (z).

Теорема 3. Якщо функція f (z) в крузі | z - z₀| < R є сумою степеневого ряду f (z) = , то цей ряд єдиний і являє собою ряд Тейлора функції f (z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИСНОВКИ

 

1. Наведено теореми.
2. Наводяться докладні розв'язання типових задач з теми, що демонструє використання на практиці результатів теорії.
3. Велика увага приділяється не тільки розгляданню "технічних прийомів", але й дослідженню умов застосовності тієї чи іншої теореми або формули.
4. Робота може бути корисною для студентів та усіх, хто цікавиться математикою, оскільки матеріалу по теорії комплексної змінної на українській мові небагато, а на даному етапі теорія функцій комплексної змінної є невід’ємною частиною математичного апарату і напряму використовується у гідромеханіці, теорії фільтрації, теорії пружності, теплотехніці, гідротехніці, електротехніці, радіотехніці, електронній оптиці та ін.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
3. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. Частина 3. – К.: Вища школа, 1979. – 283 с.
4. Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
5. Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ, 1967. — 352 с.
6. Краснов М.Л., Кісєльов А.И., Макаренко Г.И. Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. Задачи и упражнения. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1971. – 255 с.
7. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. –        М.:Наука, 1978. – 415 с.
8. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. — К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
9. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
10. Соломєнцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения. – М.: Высш. шк., 1988. – 167 с.
11. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь, 1995. — 240 с.
12. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки //Успехи математических наук. РАН ISSN:0042-1316 1992 Том 47 Вып. 6 c.3 - 58.
13. Немировский С. Ю. Комплексный анализ и дифференциальная топология на комплексных поверхностях //Успехи математических наук. РАН ISSN:0042-1316 1999 Том 54 Вып. 4 c.47 - 74.