Использование теории систем массового обслуживания для оптимизации работы кредитного отдела банка

 

 

 

3 Расчетная часть

3.1 Расчет интенсивности поступления заявок

Если  время поступления заявок распределено по показательному закону, то интенсивностью поступления заявок является параметр λ показательного распределения.

Проверим  гипотезу о том, что время поступления  заявок распределено по показательному закону.

Пусть Т – непрерывная случайная величина, представляющая собой промежуток времени между любыми двумя соседними поступлениями заявок. Полученное эмпирическое распределение приведено в табл.2 (в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй - частоты).

Таблица 2 - Эмпирическое распределение времени между поступления заявок

ti	0-15	15-30	30-45	>45
ni	90	40	15	5

 

∑ n_i=150, т.е. выборка из 150 заявок

 

Проверим  гипотезу о том, что непрерывная  случайная величина распределена по показательному закону, используя критерий Пирсона и приняв уровень значимости α равным 0,05.

1. Средний  промежуток времени между поступлениями  заявок:

t_ср=(7,5∙90+22,5∙40+37,5∙15+52,5∙5)/150=16.

2. Найдем  оценку параметра предполагаемого  показательного распределения:

λ=1/t_ср=1/16=0,0625.

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:

f(t)= 0,0625∙e^-0,0625t.

3. Найдем  вероятности попадания Т в каждый из интервалов по формуле:

P_i=P(t_i<T<t_i+1)=e^-λti-e^-λti+1. (Табл. 3)

4. Найдем  теоретические частоты (Табл. 3):

n_i’=n∙P_i=150∙P_i ,

где  P_i - вероятность попадания Т в i-й интервал.

5. Сравним  эмпирические и теоретические  частоты с помощью критерия  Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 3.

Таблица 3 – Расчетная таблица

tсеред	ni	t*ni	Рi	n'i	ni-n'i	(ni-n'i)2	(ni-n'i)2/n'i
7,5	90	675	0,608	91,259	-1,259	1,585	0,017
22,5	40	900	0,238	35,738	4,262	18,168	0,508
37,5	15	562,5	0,093	13,995	1,005	1,010	0,072
52,5	5	262,5	0,037	5,481	-0,481	0,231	0,042
	∑=150	∑=2400	∑=0,976				χ2набл =0,640

 

χ²_набл=0,64. По таблице критических точек распределения χ², по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=2 находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр=6,0.

Так как  χ²_набл=0,64 < χ²_набл=6,0 нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении Т по показательному закону.

Значит  интенсивность поступления заявок в систему λ=1 заяв./16 мин.

3.2 Расчет производительности одного канала

Если  время обслуживания заявок распределено по показательному закону, то производительностью  одного канала является параметр μ  показательного распределения:

Проверим  гипотезу о том, что время обслуживания заявок распределено по показательному закону.

Пусть T_обсл – непрерывная случайная величина, представляющая собой время обслуживания заявки одним каналом. Полученное эмпирическое распределение приведено в табл.4 (в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй - частоты).

Таблица 4 – Эмпирическое распределение длительности обслуживания заявки

ti	0-15	15-30	30-45	>45
ni	100	30	15	5

 

∑ n_i=150, т.е. выборка из 150 заявок

 

Проверим  гипотезу о том, что непрерывная  случайная величина распределена по показательному закону, используя критерий Пирсона и приняв уровень значимости α равным 0,05.

1. Средний  промежуток времени между поступлениями  заявок:

t_ср=(7,5∙100+22,5∙30+37,5∙15+52,5∙5)/150=15.

2. Найдем  оценку параметра предполагаемого  показательного распределения:

μ=1/t_ср=1/15=0,0667.

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид:

f(t)= 0,0667∙e^-0,0667t.

3. Найдем  вероятности попадания Т_обсл в каждый из интервалов по формуле

P_i=P(t_i<T<t_i+1)=e^-μti-e^-μti+1. (Табл. 5)

4. Найдем теоретические частоты (Табл. 5):

n_i’=n∙P_i=150∙P_i ,

где  P_i - вероятность попадания Т_обсл в i-й интервал.

5. Сравним  эмпирические и теоретические  частоты с помощью критерия  Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 5.

Таблица 5 – Расчетная таблица

tсеред	ni	t*ni	Рi	n'i	ni-n'i	(ni-n'i)2	(ni-n'i)2/n'i
7,5	100	750	0,632	94,818	5,182	26,852	0,283
22,5	30	675	0,233	34,882	-4,882	23,830	0,683
37,5	15	562,5	0,086	12,832	2,168	4,699	0,366
52,5	5	262,5	0,031	4,721	0,279	0,078	0,017
	∑=150	∑=2250	0,982				χ2набл =1,349

 

χ²_набл=1,349. По таблице критических точек распределения χ², по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k=2 находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр=6,0.

Так как  χ²_набл=1,349 < χ²_набл=6,0 нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении Т_обсл по показательному закону.

Значит производительность одного канала μ=1заяв./15мин.

3. Решение задачи оптимизации числа каналов обслуживания по количественным показателям

Для определения оптимального числа каналов обслуживания будем варьировать n от 1 до 6 при ограничении по длине очереди m=3.

Расчеты будем проводить с помощью  программы MathCad, используя методику, рассмотренную во второй главе. Для расчетов будем использовать значения плотности потока заявок =1/16 заявок в минуту или 60/16=3,75 заявок в час, интенсивности обслуживания μ=1/15 заявок в минуту или 4 заявки в час, которые были рассчитаны в главах 3.1 и 3.2. Плотность ухода заявок, стоящих в очереди ν = 1/6. Поскольку срок ожидания - случайная величина, распределенная по показательному закону:

 ,      ,       .

Среднее время ожидания одной заявки m_Tож =6 мин, тогда ν=1/6 заявок в минуту. 

Полученные  характеристики СМО занесем в таблицу 10.

Таблица 6 - Характеристики функционирования СМО с числом каналов обслуживания n=1,2,…6.

№	Показатели	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6
1	p0	0.35506	0.3732	0.38838	0.39119	0.39156	0.3916
2	pотк	0,27428	0,00371	0,00163	0	0	0
3	q	0.72572	0.99629	0.99837	1	1	1
4	A	2.72146	3.68665	3.74986	3.74939	3.74999	3.75
5	Z	2.9318	1,13713	0.96794	0.94213	0.93814	0.93758
6	Кз	2.9318	0.56856	0.32265	0.23553	0.18763	0.15626
7	Кп	-1,9318	0,43144	0,67735	0,76447	0,81237	0,84374
8	Nобсл	2.9318	1,13713	0.96794	0.94213	0.93814	0.93758
9	Nоч	1,72002	0,19963	0,03197	0,00482	0	0
10	Nсист	4,65182	1,33676	0,99991	0,94695	0,93814	0,93758
11	Точ	27,52037	3,19402	0,51148	0,07713	0	0
12	Тсист	74,42912	22,72492	15,99856	15,1512	15,01024	15,00128
13	Тобсл	46,9088	18,19408	15,48704	15,07408	15,01024	15,00128

Таким образам  вероятность простоя системы с увеличением числа каналов меняется от 35 до 39%, вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания (р_отк) повысится с 0,16% до 0,37% при уменьшения числа каналов до двух, и до 27,43% при уменьшении до одного.

3 канала  обслуживания загружены (К_зан) лишь на  28,95%, уменьшение числа сотрудников кредитного отдела до двух человек повысит этот показатель до 38,94%, а увеличение – приведет к понижению этого показателя.

Производительность СМО (А) для n, изменяющегося от 2 до 6, примерно постоянно и составляет 3,75 заявки в час, а уменьшение n до 1 приведет к падению производительности до 2,79 заявок в час.

Показатели  N_обсл, N_оч, N_сист характеризуют среднее количество заявок, находящихся соответственно под обслуживанием, в очереди и в системе в любой момент времени. В среднем (кроме случая n=1) под обслуживанием находится одна заявка, число заявок в очереди с увеличением n близится к 0.

Среднее время ожидания заявки в очереди (Т_оч) составляет 0,5 минуты, при увеличении числа каналов оно стремится к 0, а при уменьшении числа каналов возрастает до 3,38 минут для n=2, 27,5 минут для n=1. Время обслуживания (Т_обсл) – при n≥3 примерно составляет 15 минут, уменьшение n ведет к увеличению времени обслуживания. Общее время нахождения заявки в системе (Т_сист) – при n≥3 примерно составляет 15-16 минут, уменьшение n ведет к увеличению времени обслуживания.

Таким образом уменьшение числа каналов обслуживания приводит к улучшению показателей  интенсивности использования каналов в СМО и ухудшает показатели, характеризующие обслуживание поступающих заявок. Поэтому для отыскания оптимального числа каналов воспользуемся стоимостными критериями оптимальности: функциями эффективности или потерь. Такие показатели являются интегральными, поскольку они учитывают как убытки СМО, связанные с простоем каналов в ожидании заявок, так и убытки системы, связанные с потерей  производительности каналов во время обслуживания и его ожидания. Обычно, и то и другое ведет к повышению себестоимости.

 

4.  Решение задачи оптимизации структуры СМО по количественным показателям

Обычно  на практике клиенты, получившие консультацию об услугах банка, принимают решение  о получении кредита именно в этом банке не сразу, а по истечении некоторого времени, сравнивая условия в различных кредитных учреждениях. Поэтому на практике возможна специализация работников кредитного отдела. 

Итак, рассмотрим сотрудников кредитного отдела банка как каналы обслуживания двух СМО. В задачу первой СМО входит консультирование клиентов, в задачу второй - прием документов и выдача кредитов. Поток заявок, поступающих на вход первой СМО – лица, которые обратились в банк за консультацией; второй – лица, которые принесли пакет необходимых документов или пришли на выдачу кредита. В дальнейшем первую СМО будем обозначать СМО-консультация, вторую – СМО-кредитование.