Контрольная работа по "Математическому анализу"

1. Для нахождения стороны BC воспользуемся формулой:

 
 

2. Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

 

В правой части  стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Найти площадь  треугольника с вершинами A(4,1), B(0,-2), C(-5,10)

Принимая A за первую вершину, находим: 
 

По формуле  получаем: 

3. Воспользуемся формулой:

 
 

Подставим в  формулу координаты точек: 
 

y=-2.4x-2

4. Уравнение прямой ВС  y=-2.4x-2

Искомое уравнение  высоты имеет вид y=kx+b, k=1/2.4 
 
 

Точка А принадлежит этой прямой: 
 
 

1. М етод Гаусса:

 

Запишем систему  в виде: 

Для удобства вычислений поменяем строки местами: 

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой: 

Умножим 1-ую строку на (5). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой: 

Из 1-ой строки выражаем x₃ 

Из 2-ой строки выражаем x₂ 

Из 3-ой строки выражаем x₁ 

2. Запишем матрицу  в виде:

 

Вектор B:

B^T = (5,1,11)

Главный определитель

∆ = 3•(3•3-1•1)-2•(2•3-1•1)+2•(2•1-3•1) = 12

Транспонированная матрица 

Алгебраические  дополнения 

∆_1,1 = (3•3-1•1) = 8 

∆_1,2 = -(2•3-1•1) = -5 

∆_1,3 = (2•1-1•3) = -1 

∆_2,1 = -(2•3-1•2) = -4 

∆_2,2 = (3•3-1•2) = 7 

∆_2,3 = -(3•1-1•2) = -1 

∆_3,1 = (2•1-3•2) = -4 

∆_3,2 = -(3•1-2•2) = 1 

∆_3,3 = (3•3-2•2) = 5

Обратная  матрица 

Вектор  результатов X

X = A^-1 • B 
 

X^T = (2,-2,3)

x₁ = ²⁴ / ₁₂ = 2

x₂ = ^-24 / ₁₂ = -2

x₃ = ³⁶ / ₁₂ = 3

Проверка.

3•2+2•-2+1•3 = 5

2•2+3•-2+1•3 = 1

2•2+1•-2+3•3 = 11

3. Запишем систему в виде:

 

B^T = (5,1,11)

Главный определитель:

∆ = 3 • (3 • 3-1 • 1)-2 • (2 • 3-1 • 1)+2 • (2 • 1-3 • 1) = 12 = 12

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 5 • (3 • 3-1 • 1)-1 • (2 • 3-1 • 1)+11 • (2 • 1-3 • 1) = 24 

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 3 • (1 • 3-11 • 1)-2 • (5 • 3-11 • 1)+2 • (5 • 1-1 • 1) = -24 

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 3 • (3 • 11-1 • 1)-2 • (2 • 11-1 • 5)+2 • (2 • 1-3 • 5) = 36 

Выпишем отдельно найденные  переменные Х