Линейная алгебра
Курс лекций, 28 Декабря 2011, автор: пользователь скрыл имя
Описание работы
Аксиомы линейного пространства и их следствия.
I. Бинарная операция — операция сложения. " x,y ÎL по некоторому правилу $! x+y ÎL.
Аксиомы:
1. " x,y ÎL: x+y=y+x - коммутативна
2. " x,y,z Î L : (x+y)+z=x+(y+z) - ассоциативна.
3. $! Q(нулевой) Î L : "x x+Q=Q+x=x
4. "x Î L $! (-x) ÎL: x+(-x)=Q
Вывод: (L,+) - абелева группа.
Работа содержит 1 файл
Ответы на экзаменационные билеты по Кацману.docx
— 65.04 Кб (Скачать)- Линейные операторы. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- Подобные матрицы. Эквивалентность подобия матриц существованию общего линейного оператора.
- Характеристический многочлен матрицы и оператора. Теорема о совпадении характеристических многочленов подобных матриц.
- Инвариантные подпространства. Лемма 2.1.
- Собственные
векторы и собственные числа
линейного оператора
(теорема 2.5)
---
- Теорема о размерности подпространства собственных векторов.
- Теорема о линейной независимости систем собственных векторов, отвечающих различным собственным числам.
- Операторы простой структуры критерий ОПС.
- Линейные операторы вещественных и комплексных пространств (теорема 2.7).
- Евклидовы и унитарные пространства. Аксиомы скалярного произведения. Длина вектора.
- Неравенство Коши-Буняковского.
---
- Неравенство Миньковского.
- Ортогональные системы векторов (теорема о линейной независимости).
- Метод ортогонализации Грамма-Шмидта.
- Теорема
о существовании
ортонормированного базиса.
- Матрица Грамма системы векторов. Выражение скалярного произведения с помощью матрицы Грама.
- Теорема об определителе матрицы Грама.
- Ортогональное дополнение. Теорема о свойствах ортогональных дополнений (утверждение 2.1, теорема 2.13).
- Угол между вектором и подпространством. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая.
- Сопряженный оператор. Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора.
- Свойства операции сопряжения операторов.
- Нормальные операторы и их свойства (леммы 2.5 - 2.9).
- Теорема о строении нормального оператора в унитарном пространстве (теорема 2.16).
- Теорема о строении нормального оператора в евклидовом пространстве (теорема 2.17).
- Ортогональные операторы (леммы 2.10 и 2.11).
- Теорема о строении ортогонального оператора в унитарном пространстве.
- Теорема о строении ортогонального оператора в евклидовом пространстве.
- Самосопряженные операторы. Теорема о строении самосопряженного оператора (теорема 2.20 и теорема 2.21).
- Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Эквивалентные формы. Ранг формы.