Математические задачи энергетики

Математические  задачи энергетики

Введение. Основные понятия и определения

Предмет и задачи курса

 

     Энергетика (топливно-энергетический комплекс) – область народного хозяйства, охватывающая энергетические ресурсы, предприятия по выработке, преобразованию и использованию различных видов энергии.

     Электроэнергетика - ведущая область энергетики.

     Развитие  электроэнергетики идет по пути развития электроэнергетических систем.

     Электроэнергетическая система - совокупность взаимосвязанных электрических станций, электрических и тепловых сетей, а также потребителей электрической и тепловой энергий, объединенных единством процесса производства, передачи и потребления энергии.

     Электрическая система - это электрическая часть электроэнергетической системы.

     Характерные математические задачи энергетики относятся к таким разделам математики как:

1. Матрицы. Использование матриц для формирования, анализа и преобразования уравнений состояния электрической сети.
2. Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электрических систем;
3. Расчет и анализ режимов электрических систем с применением методов ТВ и математической статистики при учете случайного характера используемых исходных данных о нагрузках электростанций и узлов сети;
4. Методы теории вероятности и математической статистики (ТВ и МС) как математическая основа теории надежности электрических систем;
5. Математические основы теории устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости. Частотные методы анализа устойчивости.

 

     Раздел 1. Матричные методы формирования и анализа

     уравнений установившихся режимов  электрических систем 

     На  территории РБ действует электрическая  система республики в целом. Это  совокупность крупнейших электрических станций республики (КЭС и ТЭЦ городов), связанных системообразующими электрическими сетями 330-220-110 кВ. Эта энергосистема условно распадается на 6 областных электрических систем. Их сети содержат также развитые распределительные сети 110, 35, 10, 6 кВ, в дополнение к вышеназванным системообразующим сетям 110, 220, 330, 750 кВ.

     Для реальных электрических сетей, системообразующих  и распределительных, характерно большое  число элементов: линий электропередач (ЛЭП) и подстанций (ПС). Соответственно, уравнения установившихся режимов  электрических систем служат для  нахождения параметров режимов электрических систем, характеризуются многомерностью, т.е. высоким порядком рассматриваемых систем уравнений (сотни ПС и линий электропередач).

     В задачу курса входит изучение уравнений, описывающих установившиеся режимы, и ознакомление с методами, позволяющими решить эти уравнения.

     Уравнения установившихся режимов электрических  систем в силу нелинейной связи параметров режима оказываются нелинейными. Поэтому  строгие аналитические методы для  их решения непосредственно не применяются, а применяются итерационные методы решения уравнений. Поэтому в курсе рассматриваются различные итерационные методы, способы анализа и обеспечения их сходимости, ее улучшения и ускорения.

     1.1. Понятие о режимах  электрических систем  и

     схемах  замещения.

     Режим электрической системы определяет ее состояние, описываемое набором характеристик или параметров режима электрической системы. Режимы бывают установившимися (стационарными) или переходными.

     Режим определяется нагрузками электрических  станций и потребителей электрических систем, а также состоянием схемы сети. Нагрузки электрических станций, отдельных генераторов и потребителей меняются в разрезе суток, в течение недели, в рабочие и выходные дни, посезонно. Поэтому установившихся режимов электрической системы может быть неисчислимое множество, но их параметры лежат в диапазоне от режима максимальных нагрузок до режима минимальных нагрузок.

     Изменение нагрузок происходит в каждый момент времени: тяговая нагрузка, станки, лифты и др., которым характерна переменная нагрузка.

     Установившимся  называется режим, при котором среднее  значение параметров неизменно.

     Переходные  режимы представляют совокупность процессов  перехода от одного установившегося  режима к другому.

     Установившиеся  режимы разделяют на нормальные эксплуатационные (max, min нагрузок), ремонтные, паводковые (в системах с гидроэлектростанциями), утяжеленные и послеаварийные режимы.

     Схемы замещения электрических систем представляют собой совокупность схем замещения отдельных элементов  – генераторов, трансформаторов, линий, нагрузок. Математическое описание и анализ схем замещения электрических систем ведется с использованием теории графов. В схемах замещения различают ветви, узлы и контуры, в теории графов – соответственно ребра и вершины графа, дерево схемы и хорды, образующие замкнутые контуры.

     Теория  графов применима для любых сетей (водопроводных, радиоэлектронных и  др.), разработана и развита в  текущем столетии, для аналитического описания графов эффективно используются матрицы.

     Для принципиальной схемы электрической системы (рис. 1) может быть составлена схема замещения (рис. 2), параметры которой приведены к одной ступени напряжения. Эта схема может быть упрощена, если нагрузки подстанции привести к стороне высшего напряжения, как на рис. 3.

     Технологической постановке задачи расчета режима соответствует определение напряжений узлов и токов ветвей сложнозамкнутой сети при известном напряжении как минимум в одном из узлов сети, называемом балансирующим, и заданных нагрузках в остальных узлах сети (как правило – на шинах электростанций и подстанций) энергосистемы. 
 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 

      Рис. 1. Принципиальная схема электрической  системы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис.2. Схема замещения электрической  системы; параметры схемы приведены  к одной ступени напряжения 

     Связанный направленный граф

       
 
 
 
 
 
 

     Таким образом, упрощенная схема замещения (рис. 3) представляет собой связанный  граф, описывающий конфигурацию электрической  сети (ЭС) плюс совокупность параметров ветвей схемы замещения R±jX или (Y – проводимость цепи), представленная диагональными матрицами параметров dZ_в и dY_в, dK_тв (коэффициенты трансформации в общем случае).

     Для записи, анализа и оптимизации  алгоритмов расчета режимов надо иметь возможность аналитически представлять информацию о конфигурации электрической сети или схемы ее замещения.

     Для аналитического описания схема замещения  и ее граф должны быть прежде всего  пронумерованы. Нумерация может  вестись произвольно или по принципу ярусности, обеспечивающему наглядность  и формализованный подход, поддающийся алгоритмизации и автоматизации.

     В схеме ЭС выбирают балансирующий  узел, мощность которого не фиксируется, и узел, опорный по напряжению, в  котором есть средства регулирования  напряжения позволяющие обеспечить желаемое напряжение в сети. Для  простоты мы будем совмещать узлы балансирующий и опорный.

     В балансирующем узле мощность равна  алгебраической сумме мощностей  узлов плюс сумма потерь мощности в сети, которые определяются по окончании расчета режима. Балансирующему узлу назначается последний номер.  

     Нумерация и топологический анализ схемы с  учетом принципа ярусности

     Необходимый этап идентификации сети – ее нумерация, т.е. присвоение номеров (или названий) узлам и ветвям сети. Нумерация  может быть произвольная или упорядоченная. На начальной стадии изучения предмета примем упорядоченную нумерацию с учетом принципа ярусности.

     Сущность  принципа ярусности при нумерации  схем:

1. Первый шаг. Последовательно рассматриваются все ветви, берущие начало от балансирующего узла, и присваиваются номера узлам, которые являются концами этих ветвей: концом 1 - й ветви является узел 1, концом 2 ветви – узел 2 и т.д. Т. е. номер ветви совпадает с номером (индексом и уровнем) узла, который является концом рассматриваемой ветви. Это условие облегчает алгоритмизацию и программирование учета конфигурационных связей при расчете токораспределения разветвленных разомкнутых сетей (здесь «уровень» узла соответствует его индексу - номеру), при организации цикла, в массиве узлов). Принцип ярусности согласрван с методом вторых адресных или идентификаторных отображений, используемых для учета конфигурационных связей в электросетевых расчетах.
2. Второй шаг. Рассматриваем последующие ветви схемы, которые составят второй и последующие ярусы. Начальными вершинами ветвей II яруса служат концы ветвей I яруса.

     Ветви схемы, обеспечивающие связь узлов  с балансирующим (условно – питание  этих узлов), составляют “дерево”* сети. Ветви схемы, походящие к узлам, ранее уже запитанным по “дереву”, образуют замкнутые контуры и относятся к “хордам”. Ветви дерева и хорды образуют отдельные массивы информации. Таким образом, параллельно с нумерацией ведется топологический анализ схемы и определяется структура и размерность матрицы (т.е. числовых массивов) исходной, промежуточной и выходной информации.

____________________________________

     * Дерево есть минимальный подграф, обеспечивающий связь незавивисимых узлов с балансирующим.

     После того как схема пронумерована, выделено дерево и хорды и определены (приняты) направления ветвей (от начала к  концу), составляются матрицы соединений узлов и ветвей или матрицы “инциденций”.

     Эти матрицы представляют собой прямоугольные  таблицы. I-ая матрица инциденций [M]_{n x m} имеет число строк, равное числу узлов, и число столбцов, равное числу ветвей схемы. На пересечении строки и столбца ставится M_ij = ± 1,0.

     +1 – если ветвь оттекает от  узла;

     -1 – если ветвь поддтекает к узлу

     0 – если ветвь не связана  с узлом.  

     Для схемы рис. 3 матрица М имеет  вид

          в е т в и 

     M =             
 

     Первая  матрица соединений М – блочная, имеет подматрицу М_a - для ветвей дерева, М_b - для хорд.

 

     По  определению, число ветвей дерева соответствует  числу независимых узлов в  схеме, поэтому матрица М_a - квадратная, а также обратимая.

     Выясним сейчас, ?

     Очевидно, что суммы элементов всех строк  для каждого столбца М_aS обращаются в 0 при учете строки для балансирующего узла М_БУ. Следовательно, если из этой прямоугольной подматрицы М_aS для дерева сети удалить строку для балансирующего узла, то мы получим матрицу М_a невырожденную и квадратную Матрица М_b “узлы – хорды” прямоугольная и обращена быть не может, непосредственно с этой матрицей системы уравнений не решаются. 

     I-й закон Кирхгофа для электрической сети