Материалы по векторной алгебре

Будем рассматривать множество  векторов, в котором  введены линейные операции, обладающие рассмотренными выше свойствами.

В этом случае говорят, что мы имеем линейное пространство векторов.

Определение:

Система векторов     называется линейно зависимой, если найдутся числа: l₁; l₂;…;l_n (не все равные нулю):

l₁+l₂+…+l_n=l= (линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа l_i  равны нулю).

Если l= тогда и только тогда, когда все числа l_i=0, i=1,2,…,n, то система векторов     называется линейно независимой.

Определение:

Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) любой вектор можно представить в виде линейной комбинации данных векторов , т.е.  

Числа с₁;с₂;…;с_n называют координатами вектора в этом базисе.

Если  в пространстве векторов существует базис, состоящий из «n» элементов, то говорят, что размерность пространства равна «n».

Имеем пространство векторов, обозначаемое Rⁿ .

П⁰2. Одномерное векторное пространство.

 R¹         Имеем числовую ось. R¹ 

Пусть базис этого пространства будет вектор  

Т.к. любой вектор числовой оси коллинеарен  , то  можно найти число l:   l

  (l=±||||||||)   l- координата вектора   в этом базисе.

Множество векторов вида:  {l называют линейной оболочкой, порожденной вектором 

Рассмотрим  орт оси, который  обозначим  (       L;  ||||.

Тогда =х ; где координату вектора в этом базисе находим по формуле:

х=||||;  если       ;       x=-||||  ; если .

П⁰3. Двумерное векторное пространство.

R²   - это плоскость.

В качестве базисных векторов возьмём два неколлинеарных вектора 
 

=l₁l₂

 
 

Любой вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Тогда множество вида:  {l₁l₂ – линейная оболчка порождённая векторами .

Рассмотрим  прямоугольную систему  координат (х0у).

Обозначим орт оси абсцисс  , а орт оси ординат .

Тогда система этих векторов образует естественный базис.

 
 

В естественном базисе имеем следующую  формулу разложения вектора: 

x+y  (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где  указываются только координаты вектора  в естественном базисе:    

Заметим, что длина вектора  находится через  координаты вектора:

||||

Т.к. координаты вектора  – это проекции вектора на оси  координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами выполняются и над проекциями:

если  , то l    имеет координаты:

lx₁+*y₁; lx₂+*y₂} 
 

П⁰4. Трёхмерное векторное пространство.

R³- трёхмерное пространство.   В качестве базисных векторов можно взять любые три некомпланарных вектора (не лежащих в одной плоскости).  Пусть это будут вектора .

Любой вектор представлен линейной комбинацией:

=l₁+l₂+l₃

Рассмотрим  прямоугольную  декртову систему координат (0хуz).

Обозначим орт оси (OX)  ,  орт оси (OY)  ,  орт оси (OZ) 

Тогда система этих векторов образует естественный базис; . 
 

 

 
 
 

В естественном базисе имеем следующую  формулу разложения вектора: 

x+y +z (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где  указываются только координаты вектора  в естественном базисе:    

Заметим, что длина вектора  находится через  координаты вектора:

||||

Т.к. координаты вектора  – это проекции вектора на оси  координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами  выполняются и  над проекциями:

если  , то l    имеет координаты:

lx₁+*y₁; lx₂+*y₂ ;lx₃+*y₃}

Замечание:

Если  известны координаты начала и конца  вектора  , т.е. А(х₁;y₁;z₁); B(x₂;y₂;z₂), то координаты вектора находим по формуле:

={x₂-x₁; y₂-y₁;z₂-z₁}

Длина вектора находится  тогда по формуле:

||||

Пример:

Дано:    ;  A(-1;2;-3); B(1;2;1);  .

Найти: 1).

Решение:

1){1+1;2-2;-1-3}®2;0;4}®={5*2-3*2; 5*0-3*(-3); 5*4-3*4}®

={4;9;8}

2)||||=;  ={

Примечание:

Координаты  единичного вектора (орта) называются направляющими  косинусами и обозначаются: {

при этом:

§3 Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение:

Скалярным произведением  векторов называется число, обозначаемое  , которое вычисляется по формуле:

||||||||  или ||||Пр=||||*Пр.

(=*

 

Геометрические  свойства скалярного произведения.

1. >0« *<90⁰
2. <0 « 90⁰<*<180⁰
3. « ^
4. Если то ||||||||; если  то =-|||||||| .
5. Скалярный квадрат   =||||²® ||||

Примечание

===1; 

Алгебраические  свойства скалярного произведения.

2. l(=(l=l

Замечание:

1)(||||²-||||²

2)(²=||||²+2||||||||||||²

3)||||= 

Вычисление  скалярного произведения через координаты вектора.

Если  ;   , то

x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂  (легко проверить непосредственным умножением с использованием свойств скалярного произведения)

 ® _{(формула для вычисления угла между векторами)}