Материалы по векторной алгебре

Пример 1.

Дано:  ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).

Найти : угол при вершине В.

Решение:

 

 

® ={0-2; -4-(-1); 5-6}®

={-2;-3;-1};||||=

={9-0;-8-(-4);6-5}®={9;-4;1};  ||||==7.

=-2*9+(-3)*(-4)+(-1)*1=-7

||||||||==-;            B=arcos(≈100⁰89^/.

Пример 2.

Дано: ||||||||

Найти:  Пр(

Решение:

Пусть ® ®

В дальнейшем нам понадобится  скалярное произведение:

||||*||||*=4*3*(-0,5)=-6. 

Пр=||||

=-9||||²-16||||²+26=-9*16-16*9+26*(-6)=-444

|||| ®==||||²-4||||²=16+24+36=76®||||

Пр=||||=≈-50,93 

Ответ : ≈-50,93 

 

§4.Векторное произведение.

Определение правой (левой) тройки.

Рассмотрим  три некомпланарных вектора, исходящих  из одной точки:   Если смотреть из конца вектора и поворот от первого вектора ко второму вектору против часовой стрелки будет выполняться по наименьшему углу,  то говорят, что эти вектора в данном порядке образуют правую тройку. В противном случае будем иметь левую тройку.

 
 
 

Определение векторного произведения.

Векторным произведением  двух векторов называется вектор, который обозначают 

Пусть . Тогда по определению имеем:

  1)^^

2)три вектора    образуют правую тройку.

3)||||||||||||*

Длина векторного произведения численно равна площади  параллелограмма, построенного на векторах

Заметим, если ^|||||||||||| 
 
 

Свойства  векторного произведения.

!!!

Если || В частности: 
 

1. Антикоммутативность.

 

2.l(ll

3.Дистрибутивность 
 

Рассмотрим  векторное произведение для орт координатных осей и результат  занесём в таблицу. 
 
 

 

 
 
 

Пусть вектора заданы своими координатами.

Если  ;   , то

x₁*y₂*+x₁*z₂*(-)+y_1*x₂*(-+y₁*z₂*+z₁*x₂*+z_1*y₂*(-®

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂)

Чтобы не запоминать эту  формулу можно  использовать символический  определитель:

===

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂) 

Пример 1.

Дано: ∆АВС; A(2;-1;6); B(0;-4;5); C(9;-8;6).

Найти S ∆ABC(площадь треугольника)

Решение:

 
 
 

® ={9;-4;1};      ={-2;-3;-1}

S∆ABC=1/2||||           =

==7+7-35®

||||==21® S∆ABC=

Ответ: кв.ед.

Пример 2.

Дано: ;  2;  ||||||||=150⁰.

Найти  площадь параллелограмма , построенного на векторах

Решение:

Длина векторного произведения численно равна площади  параллелограмма, построенного на векторах

=×(2)=6(=12(

||||||||=12||||||||⁰=12*4*3*0,5=72.

Ответ:   72кв.ед.

Пример3.

Дано: ;  .

1)Построить  ортонормированный  базис.

2) Разложить вектор  в этом базисе.

Решение:

1)^«® -2*+(-4)*2+1*(-3)=0« -2*=11« *=-5,5

-2;-4;1}; ||||

  -11;2;-3}; |||| 

^ ^®

® 

=10-17-48;  |||

(- ортогональный базис. Для нахождения ортонормированного базиса найдём соответствующие орты.

{-2;-4;1}=

={-11;2;-3}=

={10;-17;-48}= 

2);  - разложение вектора в ортонормированном базисе.

В естественном базисе координаты данного  вектора: 2;-5;0}

Для нахождения координат  вектора в ортонормированном  базисе используем формулы:

х=(-2*2+(-5)*(-4)+0)=

y= =(-11*2+2*(-5)+0)=-

z=(10*2+(-17)*(-5)+0)=

Ответ:  
 

§5 Смешанное произведение.

Пусть дана тройка векторов ;.

Если  сначала найти  векторное произведение , а затем полученный вектор скалярно умножить на третий вектор , то мы получим число, которое обозначают ( и называют смешанным произведением векторов

Определение: Смешанным произведением  векторов   называется число полученное по правилу:

(=(

Свойства  смешанного произведения.

1.Смешанное произведение  векторов  не изменится при циклической перестановке множителей.

( 

2. >0« - правая тройка
3. <0« - левя тройка
4. =0« -вектора компланарны.
5. Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов по модулю равно объёму Vпараллелепипеда, построенного на данных векторах, как на рёбрах:

||=V 

;   ; x₃+y₃+z₃.

=(y₁z₂-z₁y₂)+(x₁y₂-y₁x₂)+(z₁x₂-x₁z₂)

((y₁z₂-z₁y₂)x₃ +(x₁y₂-y₁x₂)y₃ +(z₁x₂-x₁z₂)z₃= 

Пример:

Дан тетраэдр, вершинами  которого являются точки  А(1;-1;2); В(2;1;2);С(1;1;4); D(6;-3;8).