Автор: Пользователь скрыл имя, 04 Января 2012 в 20:44, контрольная работа
Вектором называется упорядоченная пара точек. =, где А – точка начала, В—точка конца.
Геометрическая интерпретация: вектор – это направленный отрезок.
Основные характеристики вектора:
скалярная характеристика- длина вектора, которую будем обозначать : ||||=||||;
направление
Для того чтобы задать вектор, достаточно знать:
1) длину и направление
или
2)координаты точки начала и конца
Определение равенства векторов:
Два вектора равны «
1)|||||||| (длины векторов равны)
2) вектора сонаправлены ()
Определение нулевого вектора.
Ещё одна формула для вычисления скалярного произведения, которой мы уже раньше пользовались:
(||||||||
Определение:
Будем говорить, что два вектора и ортогональны, и записывать ^ тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
^«=0
Определение ортонормированного базиса.
Базис , составленный из системы векторов
; называется ортонормированным, если вектора попарно ортогональны и длины их равны 1.
;.
Важное свойство ортонормированного базиса:
В ортонормированном базисе координаты любого вектора
=( ,будут находиться по формулам Фурье, а именно:
x1+x2+…+xn ,
1=(
; x2=(;
…; xn=(
Это интересно!
Рассмотрим систему векторов: ;, где
=(1,0,…,0)T; =(0,1,0,…,0)T; … ;=(0,0,…,0,1).
Проверим, что эти вектора образуют ортонормированный базис.
1)detA==1≠0® система линейно независима®базис в Rn по определению.
2)легко проверить, что это ортонормированный базис, т.к.
(
Такой базис будем называть естественным в пространстве Rn
Заметим, что вектор пространства Rn в естественном базисе имеет разложение:
=a1 +a2 +…+an
Таким образом, координаты вектора в естественном базисе совпадают с заданием вектора в евклидовом пространстве Rn
Например, естественный базис в пространстве R2 - это орты координатных осей ;, при этом разложение вектора в этом базисе записывают: =x +y.
Аналогично,
естественный базис
в пространстве R3 -
это орты координатных
осей ;, при этом разложение
вектора в этом базисе
записывают: =x +y+z
Пример (аналогичный пример есть в итоговом тесте)
=(2;2;-1)Т; =(-1;3;4)Т; =(11;-7;8)Т
Найти
координаты вектора
=(1;-2;0)Т
в этом базисе.
Проверим, что вектора попарно ортогональны.
(=(2*(-1)+2*3+(-1)*4)=0;
( (2*11+2*(-7)+(-1)*8)=0
(=(-1)*11+3*(-7)+4*8)=0
|||| ==1;
||||==1;
||||==1
Координаты вектора найдём по формулам Фурье:
1=(=(2*1+2*(-2)+0)=-;
x2=(=(-1*1+3*(-2)+0)=-;
x3=(=(11*1+(-7)*(-2))=
Ответ: + - +