Моменты распределения случайной величины (дискретной, непрерывной). Коэффициент асимметрии. Эксцесс. Нормальный закон распределения

 
 

Кафедра Высшей метаматематики и информатики 
 
 
 

по  дисциплине Теория вероятности и математическая статистика 

Тема: Моменты распределения случайной величины (дискретной, непрерывной). Коэффициент асимметрии. Эксцесс. Нормальный закон распределения, его характеристики. 
 
 

Выполнил:  студент группы  

                                                                          __________________________________

                           (подпись студента)

                                         «15» февраля 2010 г. 

                                                              Преподаватель:  

__________________________________                                                                      

                                                    (подпись  руководителя)

                                       «___» ________ 200__ г. 
 
 

Оценка___________________________ 
 
 

 

      Содержание 

     1. Случайные величины

 

     Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.

     Рассматривая  эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов  в серии из испытаний - пример случайной величины. Другими примерами  случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.

     Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое  она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа  успехов в последовательности из испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения . Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью , как в случае времени ожидания и т.д.

     Рассмотрим  примеры экспериментов со случайным  исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.

     1). Пусть результатом опыта может  быть событие  или событие . Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину , которая принимает два значения, например, и с вероятностями и , причем имеют место равенства: и . Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами и с вероятностями и , или этот же опыт характеризуется случайной величиной , принимающей два значения и с вероятностями и .

     2). Рассмотрим опыт с бросанием  игральной кости. Здесь исходом  опыта может быть одно из  событий  , где - выпадение грани с номером . Вероятности , . Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины , которая может принимать значения с вероятностями , .

     3). Последовательность  независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий , где - событие, состоящее в появлении успехов в серии из опытов; причем вероятность события определяется формулой Бернули, т.е. . Здесь можно ввести случайную величину - число успехов, которая принимает значения с вероятностями . Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями с их вероятностями или случайной величиной с вероятностями того, что принимает значения : , .

     4). Однако, не для всякого опыта  со случайным исходом существует  столь простое соответствие между  случайной величиной и совокупностью  случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок . Здесь естественно ввести случайную величину - координату на отрезке , в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии , где - число из . Однако вероятность этого события . Можно поступить иначе - отрезок разбить на конечное число непересекающихся отрезков и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина принимает значения из интервала . Тогда вероятности - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида , где переменная . Тогда соответствующая вероятность

                (1.1)

     является  функцией аргумента  . Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков .

     Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство , где - пространство элементарных событий, - - алгебра событий (подмножеств ), - вероятность, определенная для любого . Например, в последнем примере , - - алгебра всех отрезков , содержащихся в .

     Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины.

     Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной называется однозначная действительная функция , определенная на , для которой множество элементарных событий вида является событием (т.е. принадлежат ) для каждого действительного числа .

     Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного  множество , и это условие гарантирует, что для каждого определена вероятность события . Это событие принято обозначать более краткой записью .

     2. Моменты случайной величины

     Математическое  ожидание и дисперсия являются примерами  моментов случайной величины, которые  определяются следующим образом.

     Начальным моментом порядка  непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятности называется число

            .    (2.1)

     Порядок момента  - это неотрицательное целое число, т.е. .

     Начальным моментом порядка  дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , , называется число

         .     (2.2)

     Определение (2.1) можно рассматривать как универсальное определение для непрерывных и для дискретных случайных величин. В последнем случае плотность вероятности выражается через - функцию согласно формуле

     

     Однако  на практике для вычисления момента  дискретной величины удобнее использовать соотношение (2.2).

     Центральным моментом порядка  случайной величины называется число

            .     (2.3)

     Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности центральный момент порядка имеет вид:

            .   (2.4)

     Из  всего множества начальных и  центральных моментов обычно используются моменты невысоких порядков, до включительно, как более простые характеристики случайной величины. Применение моментов высоких порядков, , ограничено. Во-первых, при больших моменты могут не существовать, поскольку могут расходиться интегралы (2.1), (2.4). И во-вторых, интерпретация моментов высших порядков затруднена.

     Рассмотрим  начальные моменты, начиная с  . При этом из (2.1) следует

            .    (2.5)

     Итак,  начальный момент нулевого порядка для любой случайной величины, следовательно, этот момент не отражает каких-либо свойств случайной величины, т.е. не является ее характеристикой. При из (2.1) следует, что момент первого порядка - это математическое ожидание случайной величины. Разные случайные величины могут иметь разные математические ожидания, и поэтому число является характеристикой случайной величины: число указывает положение центра ее плотности вероятности.

     Момент  второго порядка

                 (2.6)

     - это среднее квадрата  случайной величины, и т.д.

     Рассмотрим  аналогично центральные моменты (2.4). При получаем - одинаковый результат для любой случайной величины. Поэтому данный момент не является характеристикой случайной величины, поскольку не отражает каких-либо ее свойств. При . Этот результат также одинаков для любой случайной величины, поэтому центральный момент первого порядка не является характеристикой случайной величины. При из (2.4) получаем дисперсию

                 (2.7)

     - важнейшую числовую характеристику  случайной величины и т.д.

     Моменты третьего и четвертого порядков будут  рассмотрены в дальнейшем.

     3. Коэффициент асимметрии

     Среднее и дисперсия случайной величины - это числа, которые определяют такие свойства ее плотности вероятности как положение центра и эффективную ширину. Очевидно, эти два числа не отражают всех особенностей плотности, в частности, степень симметрии или асимметрии плотности относительно математического ожидания - это новая характеристика, которую можно определить как некоторое число.

     Для любой симметричной плотности центральные моменты нечетного порядка равны нулю (доказательство приводится ниже). Поэтому простейший среди них - центральный момент третьего порядка может характеризовать асимметрию плотности распределения:

            ,    (3.1)

     где - математическое ожидание, - центральный момент - го порядка.

     Асимметрию  принято характеризовать коэффициентом  асимметрии

            ,     (3.2)

     где - дисперсия случайной величины .

     Рассмотрим  доказательство утверждения о том, что для симметричной плотности центральные моменты нечетных порядков равны нулю.

     1). Пусть  - симметричная функция относительно некоторой точки , тогда

            ,    (3.3)

     поскольку - антисимметричная функция относительно . Отсюда следует:

            .    (3.4)

     Таким образом, если - симметричная функция относительно точки , то - точка симметрии плотности вероятности – это математическое ожидание случайной величины. 

     2). Пусть  - нечетное целое и - симметричная функция, тогда ,  поскольку - симметрична относительно математического ожидания , и - антисимметрична относительно .

     Выражение (3.2) для можно представить через начальные моменты , . Из определения следует:

      .

     Аналогично  центральный момент третьего порядка

     

      .

     Пусть случайная величина имеет плотность вероятности:

            ,    (3.6)

     (распределение  Рэлея), тогда вычисление  и подстановка в (3.2) приводит к результату .

     Плотность вероятности с  имеет более тяжелый «хвост» в области больших положительных аргументов, и наоборот, при более тяжелым является «хвост» плотности в области отрицательных аргументов. 

     4. Коэффициент эксцесса