Автор: Пользователь скрыл имя, 08 Декабря 2010 в 21:59, реферат
Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.
Математическое ожидание и дисперсия являются примерами моментов случайной величины, которые определяются следующим образом.
Два числа не отражают всех особенностей плотности, в частности, степень симметрии или асимметрии плотности относительно математического ожидания - это новая характеристика, которую можно определить как некоторое число.
1. Случайные величины 2
2. Моменты случайной величины 4
3. Коэффициент асимметрии 6
4. Коэффициент эксцесса 8
5. Нормальный закон распределения. 9
Характеристикой степени сглаженности вершины плотности вероятности является число
, (4.1)
называемое коэффициентом эксцесса.
Определим для нормального распределения. Поскольку , то осталось вычислить
.
Пусть , тогда
.
Вычислим интеграл способом «по частям»:
.
Таким образом, . Подставим полученные результаты тогда .
Если , то плотность вероятности имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая плотности нормального распределения с той же дисперсией. Если , то вершина плотности распределения более плоская, чем у нормального распределения.
Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:
, (5.1)
где , - числа, называемые параметрами функции . При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры , имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.
Из (5.2) следует выражение для функции распределения вероятностей
, (5.3)
где - функция Лапласа. На рис. 1 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись .
Рис. 1 Графики плотности и функции распределения
нормальной случайной величины.
Список литературы.