Непрерывные дроби

              

      Из  этого следует, что подходящая дробь  , которая, как и , расположена справа от , ближе к , чем к , то есть < .

      Подходящие  дроби дальнейших порядков располагаются  таким же образом.

      Итак, подходящие дроби нечетного порядка  увеличиваются с ростом порядка, а подходящие дроби четного порядка  убывают с ростом порядка; при  этом все подходящие дроби нечетного  порядка меньше всех подходящих дробей четного порядка, то есть < <…< <…< <…< < при любых k и .

      Так как  , то пары подходящих дробей ,  , … образуют стягивающуюся последовательность отрезков, которая должна иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , …. Обозначим этот предел за , имеем , причем, очевидно, для любого k, то есть находится между любыми двумя соседними подходящими дробями.

      Следовательно, подходящие дроби любой бесконечной  непрерывной дроби имеют некоторый  предел . Этот предел принимается в качестве значения бесконечной непрерывной дроби. Говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к или представляет число . Можно записать = , подразумевая при этом, что = .

      1.4. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной непрерывной дробью

      Исходя  из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для  каждого действительного иррационального  существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

      Возникает вопрос, сколько представлений действительного  иррационального  в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только одно.

      Другими словами: представление действительного  иррационального  в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.

      Пусть действительное иррациональное представлено бесконечной непрерывной дробью , то есть = . Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k. Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку . Обозначим его через , = , то есть = . Аналогично = , то есть = .

      Из  соотношения  получаем , то есть = (1).

      Так как при   , то все >1, а <1; следовательно, , то есть (2). Но так как , то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для , то есть . Тогда далее , а и так далее. Вообще из следует , а .

      Элементы  данной бесконечной непрерывной  дроби получаются из его значения последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.

      Вместе  с тем мы установили, что остаток  бесконечной непрерывной дроби  = порядка k+1  совпадает с ее остаточным числом порядка k+1  .

      Исследования  этого параграфа приводят нас  к следующему основному результату: каждое иррациональное действительное число  единственным образом представляется бесконечной непрерывной дробью вида и, наоборот, каждой бесконечной непрерывной дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет. Поэтому множество всех действительных чисел взаимно однозначно отображается на множестве всех непрерывных дробей (если условиться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее ). При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным – бесконечные дроби.

      2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя

 

      Рациональные  числа образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно  сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.

      Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные  с необходимостью отыскания хороших  рациональных приближений, понимая  под этим отыскание рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от данных чисел.

      Непрерывные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью непрерывных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел.

      2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью

      Теорема 1.  Для любых двух соседних подходящих дробей и к действительному числу имеет место неравенство , и если , то .

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Если , подходящие дроби и , из которых одна четная, а другая – нечетная, лежат по разные стороны от (так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробями), и поэтому расстояние от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то есть

       .

      Если  = , то .

      Теорема 2.  Для любой подходящей дроби к действительному числу справедливо неравенство:

      

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Если = , то получаем, что левая часть неравенства равна нулю, в то время как правая часть всегда больше нуля. Поэтому при = неравенство выполняется. Пусть , то есть существует подходящая дробь .

      При k>0 и согласно предыдущей теореме имеем:

       .

      Отдельно  рассмотрим случай k=0. Если , то

       . 

      Теорема 3.  Если , то . 

      Из  теорем 1-3 получаем следующие оценки погрешности:

       ,  , 

      из  которых первая является наиболее точной, а последняя – наиболее грубой.

      2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями

      Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

      Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский  математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели солнечной  системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его  к открытию ряда важных свойств непрерывных  дробей.

      Пусть требуется, чтобы отношение угловых  скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно .

      Так как угловые скорости колес обратно  пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес  I и II должно быть равно . Если – несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например, , то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

      Задачу  можно технически упростить при  помощи колес с меньшим количеством  зубцов. При этом важно, чтобы отношение  этих чисел было, по возможности, ближе  к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться  непрерывными дробями.

      Пусть, например, поставлено требование заменить N и n меньшими числами и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе к .

      Применяя  аппарат непрерывных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

      Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2) 

      Составляя схему, находим: 

    

      Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь  . При этом допущенная погрешность , то есть весьма незначительна.

      Ответ: .

      Для иррационального по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

      Пример 2: Как мы уже определили ранее  . Вычислим с точностью до 0,001.

      Для решения придется найти такую  подходящую дробь  разложения , чтобы .

      Сделаем это, используя схему: 

    

      Очевидно, нам достаточно взять  , так как 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недостатком или избытком).

      Решенные  задачи в более общем виде формулируются  так:

1. Найти рациональное приближение к действительному со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.
2. Найти рациональное приближение к действительному числу с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом непрерывных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы .

      2.3. Теорема Дирихле

      Выше  мы нашли оценку погрешности, возникающей  при замене любого действительного  числа  рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями.

      А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.

      Пусть – произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого, что . поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами , при которых точность приближения будет оценена не величиной , а величиной, в раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел таких, что , где – любое заранее положительное число.

      Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения  к , чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 или =1000000. оказывается, что как бы велико ни было , можно найти рациональную дробь , приближающую с точностью до , причем и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что .