Непрерывные дроби

      Во  множестве иррациональных чисел  наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.

      Число называется квадратической иррациональностью, если – иррациональный корень некоторого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

      При таком  , очевидно, будет a 0, c 0. Коэффициенты a, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , где P, Q – целые, а D (D>1) – целое неквадратное число.

      Второй  корень уравнения (1) будем называть иррациональностью, сопряженной с .

      В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений , x- =0.

      Примеры:

1. – квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения .
2. – квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения . Здесь P=–1, Q=–3, D=5.
3. не является квадратической иррациональностью.

      Действительно, корень любого квадратного уравнения  с целыми коэффициентами имеет вид  , где P, Q, D , причем D>1. Если бы мы имели = , то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что – рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и , а это не так.

      Теорема. Всякая периодическая непрерывная  дробь изображает квадратическую иррациональность.

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть – смешанная периодическая непрерывная дробь, то есть , где – чисто периодическая непрерывная дробь.

      Обозначим подходящие дроби к и соответственно через и .

      Так как  , то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы, . Выполнив необходимые преобразования, получаем: .

      Из  этой формулы видно, что  удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того, - число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом, - квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , поэтому и является, очевидно, квадратической иррациональностью.

      Докажем обратную теорему, которая носит  имя Лагранжа.

      Теорема Лагранжа. Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается периодической непрерывной дробью.

      Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть – действительный иррациональный корень квадратного уравнения (1) с целыми коэффициентами a, b, c.

      При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где – остаток порядка k+1.

      Подставляя  выражение  из (2) в (1), получаем

        

      

      

        

         (3), где

         (4)

      Отсюда, во-первых, видно, что  (5), во-вторых, можно непосредственным вычислением установить, что (6).

      Таким образом, дискриминант уравнения (3) такой  же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он от k не зависит.

      Идея  доказательства в дальнейшем заключается  в том, чтобы показать, что при данном коэффициенты , , ограничены по модулю.

      Если  этот факт на самом деле имел бы место, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать  только конечное число различных  значений. Вместе с тем и число  возможных уравнений (3) было бы конечным, хотя k пробегает бесконечное множество значений. Но в таком случае и остатки (которые определяются из (3)), число которых бесконечно, могли бы принять только конечное число различных значений. Поэтому должны были бы существовать остатки с одинаковыми значениями, а это уже означает, что непрерывная дробь – периодическая.

      Итак, докажем, что  , и ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать это для , так как в силу соотношения (5), из ограниченности уже как следствие вытекает ограниченность , а в силу (6) – ограниченность .

      Как известно из свойств подходящих дробей, или , где , откуда .

      Поэтому из первого равенства (4) имеем

      

      

      Так как  , то

      

       ,

      то  есть и , а это и доказывает ограниченность .

      Этим  и завершается доказательство теоремы  Лагранжа.

      Отметим без доказательства следующие свойства разложений квадратических иррациональностей:

1. при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не являющегося полным квадратом, период начинается со второго звена;
2. чисто периодическая непрерывная дробь получается тогда и только тогда, когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было доказано Э. Галуа в 1828 году. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке).

 

      Примеры:

1. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую цепную дробь x и найти соответствующую иррациональность x=((2, 6, 1)).

      Решение: x=(2, 6, 1, x).

      Составляем  схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. 

    

      Итак, , откуда получаем: .

      Положительное решение этого уравнения дает искомую периодическую дробь.

      ((2, 6, 1))= - квадратическая иррациональность. Заметим, что >1, а – иррациональность, сопряженная с x – лежит в интервале (-1; 0).

2. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в периодическую непрерывную дробь x=(3, (2, 1)) и найти соответствующую иррациональность.

      Решение x=(3, y), где y=(2, 1, y). Составляем схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y: 

    

      Следовательно, , . Так как y>0, то мы должны взять положительный корень этого уравнения . Поэтому для x имеем . Таким образом, искомая дробь (3, (2, 1))= . Для соответствующего квадратного уравнения имеем , откуда получаем: .

      2.6. Представление действительных чисел с непрерывными дробями общего вида

 

      Рассмотренные до сих пор правильные бесконечные и конечные непрерывные дроби являются частным случаем бесконечных и конечных непрерывные дробей общего вида:

       (1),

      когда в них принимается, что все  , , а остальные .

      В общем случае элементы непрерывной дроби и , k>1 могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а может также быть равно нулю.

При помощи непрерывных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например, .

      В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например, ( ) или ( ) числа и (k=2, 3, …) называют звеньями, и – членами k–го звена, из них – частным числителем, а – частным знаменателем.

      Чтобы получить разложение рационального  числа  в конечную непрерывную дробь (1), можно все и , за исключением одного, выбрать произвольно.

      Можно, например, найти разложение ; для этого следует положить . Можно непрерывную дробь преобразовать так, чтобы все были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид (2).

      Так, например, . Дроби вида (2) называют обыкновенными непрерывными дробями, а , , …, – их неполными частными. Правильные непрерывными дроби можно поэтому определить как обыкновенные непрерывные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с , причем может быть любым целым числом.

      Правильные  непрерывные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными среди непрерывных дробей общего вида, однако и другие непрерывные дроби играют большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.

      Рассмотрим  обзорно некоторые свойства непрерывных дробей общего вида.

      Происхождение таких непрерывных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.

      Если  мы имеем систему равенств , , , … с произвольными рациональными числами, то при b, c, d 0, из них следуют равенства , , , …, так что, подставляя по цепочке, получаем .

      

      k-я подходящая дробь определяется для по формуле при условии, что , , , .

      Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби  для разложения . Имеем = , , , , , . Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях.

      Свойства подходящих дробей непрерывных дробей общего вида с положительными элементами и правильных непрерывных дробей вполне аналогичны.

      Бесконечная непрерывная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел ; в таком случае принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные непрерывные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы.

      Существует ряд признаков сходимости непрерывных дробей:

      Пусть дана непрерывная дробь вида

       , где  ,

1. Пусть , все члены последовательностей , действительные числа и для всех , начиная с некоторого. Если для таких k выполняется неравенство , то непрерывная дробь сходится.
2. Пусть и все члены последовательности , начиная с k=2 положительны. Тогда непрерывная дробь сходится тогда и только тогда, когда ряд расходится (теорема Зейделя).

      Интересной  особенностью непрерывных дробей общего вида является то, что даже рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные непрерывные дроби. Например, имеется разложение

      

       = , , , , , …

      0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

      Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в непериодические непрерывные дроби общего вида.

      Например, имеется разложение

      

       = , , , , , , , …

      1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

      Но  самое интересное и важное это  то, что в то время как до настоящего времени неизвестно разложение в  правильную цепную дробь ни одной  алгебраической иррациональности степени  выше второй (другими словами, неизвестны общие свойства неполных частных  таких разложений, разложения сами по себе со сколь угодной точностью  можно практически найти), при помощи общих непрерывных дробей такие разложения находятся довольно легко. Отметим, например, некоторые разложения и соответствующие подходящие дроби для :