Определители и матрицы

      Нетрудно  заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

      Докажем эту теорему для . В этом случае может быть равно только 2, так как входит в основное определение величины определителя. Итак:

       . 

      Полученное  выражение совпадает с тем, которое  было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема  доказана.

      Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.

      Итак, показано, что определитель может  быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

      Теорема. Каков бы ни был номер столбца ( ), для определителя -го порядка справедлива формула , называемая разложением этого определителя по -му столбцу.

      Докажем теорему для : 

       . 

      Данное  выражение равно величине определителя, введенной по определению.

      Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.

      В заключение введем еще одно определение.

      Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается .

      Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью  формул:  

       . 

      Заключение:

      Теория  матриц и определителей очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

      Например, общие затраты предприятия, стоимость  единицы сырья и т.д. описываются  линейными алгебраическими выражениями, которые анализируются и решаются с помощью матриц и определителей. Также теория матриц и определителей  широко применяется в математическом прогнозировании цен и т.д.

       Литература 

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, "Высшая школа", 1973.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1986.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., "Высшая школа" изд. 5, 1977.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа" изд. 2.
6. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.3
7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.
9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.
10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.
11. Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960.