Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона

Автор: Пользователь скрыл имя, 16 Октября 2011 в 17:12, курсовая работа

Описание работы

Проведено n замеров времени X выполнения некоторых технологических операций. По имеющейся выборке оценить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму. На уровне значимости 0,05 по критерию Пирсона проверить следующие две гипотезы:
А) Х нормально распределена
Б) Х равномерно распределена

Содержание

Текст задания……………………………………………………………………………………………………………………………..….…….3
Теоретическая часть………………………………………………………………………………………………………………………….….4
Случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины…......4
Оценки моментных характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратичное……………………………………………………………………………..….……5
Выборка. Объем выборки. Размах выборки. Вариационный ряд. Функция распределения непрерывной случайной величины. Гистограмма……………………………………………………………....6
Закон распределения случайной величины. Равномерное распределение. Нормальное (гауссовское) распределение…………………………………………………………………………………..……….……7
Квантиль. Проверка гипотезы о распределении элементов выборки по критерию Пирсона……………………………………………………………………………………………………………………………...……9
Практическая часть………………………………………………………………………………………………………………..……….…..10
Вывод…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….…..17
Список использованной литературы………………………………………………………………………………….………….….18

Работа содержит 1 файл

Курсовая Твимс.doc

— 671.00 Кб (Скачать)

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 
 

Кафедра 804 
 
 
 

Курсовая  работа

по курсу  теории вероятности

и математической статистике

по теме: «Проверка гипотезы о законе распределения  по критерию Пирсона»

Вариант №130 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка  Гуманитарного факультета

Группы 10-101

Мазурева  А.Ю.

Проверил  преподаватель Семенихин К.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва. 2010г

 

Оглавление 

Текст задания……………………………………………………………………………………………………………………………..….…….3

Теоретическая часть………………………………………………………………………………………………………………………….….4

  1. Случайная величина. Непрерывная случайная величина. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины…......4
  2. Оценки моментных характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратичное……………………………………………………………………………..….……5
  3. Выборка. Объем выборки. Размах выборки. Вариационный ряд. Функция распределения непрерывной случайной величины. Гистограмма……………………………………………………………....6
  4. Закон распределения случайной величины. Равномерное распределение. Нормальное (гауссовское) распределение…………………………………………………………………………………..……….……7
  5. Квантиль. Проверка гипотезы о распределении элементов выборки по критерию Пирсона……………………………………………………………………………………………………………………………...……9

Практическая часть………………………………………………………………………………………………………………..……….…..10

Вывод…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….…..17

Список использованной литературы………………………………………………………………………………….………….….18

 

Текст задания.

Вариант № 130

Проведено n замеров времени X  выполнения некоторых технологических операций. По имеющейся выборке оценить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить выборочную функцию распределения и гистограмму. На уровне значимости 0,05 по критерию Пирсона проверить следующие две гипотезы:

А) Х нормально  распределена

Б) Х равномерно распределена

1,967 -3,144 4,681 0,816 0,906 3,224 9,088 -4,156 -2,636 -1,104 -0,786
2,58 10,98 -2,032 2,774 7,456 4,476 2,874 5,476 9,976 -1,476 1,033
1,141 4,814 0,45 -0,788 9,388 4,812 -3,108 4,408 5,534 1,691 -0,79
 

 

Практическая  часть.

  1. Исходные данные
1,967 -3,144 4,681 0,816 0,906 3,224 9,088 -4,156 -2,636 -4,104 -0,786
2,58 10,98 -2,032 2,774 7,456 4,476 2,874 5,476 9,976 -1,476 1,033
1,141 4,814 0,45 -0,788 9,388 4,812 -3,108 4,408 5,534 1,691 -0,79
 
  1. Вариационный  ряд

Расположим числа  по возрастанию

-4,156 -4,104 -3,144 -3,108 -2,636 -2,032 -1,476 -0,79 -0,788 -0,786 0,45
0,816 0,906 1,033 1,141 1,691 1,967 2,58 2,774 2,874 3,224 4,408
4,476 4,681 4,812 4,814 5,476 5,534 7,456 9,088 9,388 9,976 10,98
  1. Найдем выборочное математическое ожидание, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Количество  случайных чисел:  n=33

Выборочное  математическое ожидание:

;

Выборочная дисперсия:

;

;

Среднеквадратическое  отклонение:

;

  1. График выборочной функции распределения:

Расположим  на оси ОХ, обозначенной на миллиметровой  бумаге, все числа выборки. Откладывая каждый раз по 1/33 по оси OY, начертим вектора, направленные от каждого предыдущего числа к каждому последующему.

 

 

 

      5. Построение гистограммы.

Хmin = -4,156

Xmax = 10,98

Для построение гистограммы  разобьем весь размах выборки на 4 равных интервала. K (количество интервалов) = 4.

Границы интервалов:

Δ1 = [-4,156; -0,372]

Δ2 =(-0,372; 3,412]

Δ3=(3,412; 7,196]

Δ4=(7,196; 10,98]

Определим nj – число элементов выборки, попавших в Δj.

Высчитаем высоту hj= , где Δj – длина интервала

h1= =0,08

h2= =0,088

h3= =0,056

h4= =0,04

Сведем  все данные в таблицу

  Δ1 Δ2 Δ3 Δ4
nj 10 11 7 5
hj 0,08 0,088 0,056 0,04
 

 

По  полученным данным построим гистограмму: 

 

      6. λ =0,05 – вероятность опровергнуть верную гипотезу.

      7. Рассмотрим гипотезу по нормальному распределению.

Х~N(m, 2)

Δj = [aj , aj+1]

pj = P(Xє Δj) Ф0 ( )- Ф0 ( )

p0 = P(-∞≤X<-4,156)

p0 = Ф0( Ф0(

p1 = P(-4,156≤X<-0,372)

p1 = Ф0( 0( = Ф0( Ф0

p2 = P(-0,372≤X<3,412)

p2 = Ф0( 0( = Ф0( Ф0

p3 = P(3,412≤X<7,196)

p3 = Ф0( 0( = Ф0( Ф0

p4 = P(7,196≤X<10,98)

p4 = Ф0( 0( = Ф0( Ф0

p5= P(10,98≤X<∞)

p5 = 0( = - Ф0( =

Сведем  все данные в таблицу:

  Δ0 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
nj 0 10 11 7 5 0
pj 0,0548 0,1967 0,351 0,2804 0,1001 0,017
npj 1,8084 6,4911 11,583 9,2532 3,3033 0,561

 

      8. Рассчитаем статистику Критерия Пирсона по формуле:

 

;

      9. Рассмотрим гипотезу по равномерному распределению.

Данные в таблице:

  Δ0 Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
nj 0 10 11 7 5 0
pj 0 1/4 1/4 1/4 1/4 0
npj 0 8,25 8,25 8,25 8,25 0

 

      10. Рассчитаем статистику Критерия Пирсона по формуле:

 

;

      11. Проверка гипотезы.

Уровни значимости, по которым проверяется гипотеза = 0,05

Т< (1-λ=0,95)

Квантиль:

Сравним квантиль со статистикой  критерия Пирсона  по нормальному распределению:

Сравним квантиль со статистикой  критерия Пирсона  по равномерному распределению:

 

     Вывод: Данное соотношение показывает, что обе из гипотез принимаются, так как оба из критериев Пирсона меньше квантиля.

 

Список  использованной литературы. 

  1. А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов: «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый  курс с примерами и задачами». Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007 год.
  2. Лекции по теории вероятностей (преподаватель А.Р. Панков)
  3. http://teorver-online.narod.ru/ - интернет - учебник с конспектом лекций по теории вероятностей.

Информация о работе Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона