Шпаргалка по "Высшей математике"

m₀ >= np-q

Аналогично Р_n(m₀)/ P_n(m₀-1)>=1 получим, что m₀ <=np+p

np-q<=m₀<=np+p

Замечание: Если число np+p-целое , то имеем два найвер-ших числа - m₀ и m₀+1,

если np+p - дробное,

то имеем одно найвер-шее число -m₀. 
 

17. Локальная теорема  Муавра-Лапласса.

Рассмотрим последов-ть  n-нез-ых исп-ий Бернулли

Т-ма: Если вер-ть наступления события А в n-незав-ых исп-ях постоянна и равна р, причем р

не равно 0 и 1, то вер-ть P_n(m) того, что в n-исп-ях соб. А наступит ровно m раз приближенно равна

, где  , - Ф-ция Гаусса

e=2,7182 

18 φ(х) – функция Гаусса, малая функция Лапласа. φ(х) –табулированная. Имеются таблицы для х≥0. При других значениях х используют свойства функции Гаусса.

Свойства:

1. φ(х)-четная.
2. При  х≥0 φ(х) убывает

   Lim φ(х)= lim e^{- x2/2} /√2π  

19. Интегральнвая т-ма  Лапласа.

Т-ма: Если в серии  из n-нез-ых исп-ях вер-ть р появления события А в каждом исп-нии

постоянная и  не равна 0 и не равна 1, то вер-ть Р_n(m₁; m₂) того, что n-исп-ия соб. А произойдет от m₁

до m₂ раз . При достаточно больших n будет приблизительно равна

P_n(m₁;m₂)=1/2(Ф(x₂)- Ф(x₁)), где

,    Ф(x)- ф-ция Лапласа

 

m₁≤ m≤ m₂ Для х≥0 имеются таблицы функции Ф(х). При других значениях х используются свойства функции:Ф(х)-нечетнах)-возрастающая функция. Lim Ф(х)=1x→∞ 
 

Для х>5 Ф(х)≈1 
 
 

21.Вер-ть  отклонения отн  частоты от пост  вер-ти в п незав  испытпниях

Рассмотрим n-независимых испытаний Бернулли в каждом из которых события А происходят с вероятностью р. Причем р≠0, р≠1.

Считаем также, что число испытаний n достаточно велико. Относительная частота появления события А в этой серии будет m/n.

Разность m/n-p называется отклонением относительной частоты от постоянной вероятности.

Ε>0 Определим  вероятность (Р(m/n-p)≤ε)-?

Определим вероятность  того, что относительная частота  отклонения от постоянной вероятности  Р по абсолютной величине не более, чем на число ε.

Рассмотрим (m/n-p)≤-ε↔ε≤(m/n-p)≤ε.         
 
 

22. Ф-ла Пуассона. Допустим производиться серия из независимых испытаний, причём n очень велико (n→∞), вер. появл. соб. А в каждом исп. очень мала (р→0) p<0.01 причём np=λ=const, тогда вер. Р_n(m) того, что в n исп. соб. А произойдёт ровно m раз ≈ вычисл. по ф-ле Р_n(m) ≈℮^{- λ} λ^m/m! при np<10. Док-во:

Р_n(m)=С_n^mp^mq^n-m=│q=1-p, np=λ,p=λ/n│= n!/m!(n-m)!)*p^m(1-p)^n-m=1·2·3…(n-m)(n-m+1)…n/(m!1·2·3…n·m)*(λ/n)^m(1- λ/n)^n-m=((n-m+1)(n-m+2)…n/m!n^m)*λ^m(1- λ/n)^n-m=λ^m/m!*(n-(m-1))(n-(m-2)…n)/n*(1-λ/n)ⁿ*(1-λ/n)^-m= λ^m/m!*(n-(m-1)/n*(n-(m-2)/n)…1· (1-λ/n)ⁿ*(1-λ/n)^-m= (λ^m/m!)-(1-(m-1)*(1-(m-2)/n)*(1-λ/n)^-m*(1- λ/n)^{n/(-λ)*(-λ)} по второму замечательному пределу lim(1-λ/n)ⁿ=lim(1+(-λ)/n)^{n/(-λ)*(-λ)}=е^-λ. (1-(m-1)/n)→1, (1-(m-2)/n)→1, (1-(λ/n)^-m→1получается P_n(m) →(λ^m/m!)*е^-λ, т.е P_n(m)≈ ≈℮^{- λ} λ^m/m! 

23. СВ. Дискретные СВ. Закон распр. ДСВ. Полигон распр. ДСВ. СВ называют величину, кот. в результ. исп. принимает то или иное  значение из множества своих знач., причем неизв. какое.

Дискретные СВ назовём СВ мн-во знач-й кот. конечно  и счетно (х₁,х₂,…,х_n)

Обозн. СВ Х, У, Z, а их значения х,у, z Вер. того, что Х приняло знач. х обозн. Р(Х=х).

Законом распр. ДСВ (Х) наз. соответствие м/д знач. случ. величины и вероятностями, с кот. она принимает эти знач-я, причем оассм. все возможные значения этой величины (СВ).записывают в виде таблиц

х₁<x₂<…<x_n, т.к. это все возможные знач. ДСВ(Х), то соб. Х=х₁, Х=х₂…Х=х_n, то соб. образ. полную группу (сис-му). р₁+р₂+…+р_n=1эта ф-ла прим. для контроля правильности построения закона распр. ∑P_n=1.

Возьмем прямоугольную  систему коорд. По оси х отложим  знач. СВ Х, а по оси у- вер. этих знач. Соседние точки (х_i,p_i) cоед. отрезками, тогда получ. фигуру, кот. наз. полигоном распределения СВ. 
 

24.Ф-я  распр. вер.СВ. Определ.  и св-ва. Ф-я F(х) наз. ф-я распр. СВ Х, если F(х)=р (Х<х) для всех хє(-∞;+∞)

Х<х означ. -∞<X<x, т.е. ф-я распр. поках. вер. попадания СВ Х на интервалм(-∞;х) левее точки х. Св-ва ф-ции распр:

1. 0≤ F(х)≤1. F(х)=Р(Х<х) ≥0
2. F(х)-неубывающая. х₁<x₂, F(х₁)≤ F(х₂)

A={x<x₁} B={x₁≤x<x₂} C={x<x₂} C=A+B AиB- несовм. По теор. слож. им.

Р(С)=P(A)+P(B)= P(X<x₁)+P(x₁≤x<x₂)

P(C)= P(X<x₂)=F(x₂)

P(X<x₁)=F(x₁)

P(x₁≤x<x₂)=F(x₂)- F(x₁)≥0

F(x₂)≥ F(x₁) x₂>x₁

3. Вер. попадания СВ на полуинтервал х=[x₁,x₂] P(x₁≤x<x₂)= F(x₂)-F(x₁)
4. F(-∞)=0 F(+∞)=1 F(-∞)=lim F(x) F(+∞)=lim F(x) Док-во F(x)=P(X<x), F(-∞)=P(x<-∞)=P(Æ)=0, F(+∞)=P(x<+∞)= P(-∞<x<+∞)=P(Ω)=1.                             5. F(x)-непрерывна слева, lim_x→x0-0F(x)=F(x₀)

 
 

25.Ф-ция  распределения ДСВ

х       х₁              х₂   … х_n

р       р₁             р₂  … р_n

x₁        x₂               x_n

Ф-ция р ДСВ =F(x)=P(X<X)= Σ_xi<x P(X=X_i), суммир. ведется по всем х _i< x

1)(-∞,х₁]эХ 0,x≤x₁

2)х₁< x ≤ x₂ F(x)= p₁,x₁<x≤x₂

p₁+p₂, x₂<x≤x₃

1,x>x_n 

26.Мат.  ожид. Св и его  св-ва

Дискретная случайная  величина Х задана рядом распределения

х  х₁  х₂   … х_n

р  р₁  р₂  … р_n

Мат ожидание М(х) СВ Х дискретного типа наз. Сумма  произведений случ. величин.

М(х)=Х₁Р₁+Х₂Р₂+…+Х_nP_n , х<М(х) ≤x_n

Мат. ожид. это  характеристика положения случ. величины.

Св-ва мат. ожид.:1)C=const  M(c)=C 2) M(cx)=C•M(X),где С=const 3)мат.ожид су3ммы двух случ. величин равно сумме их мат.ожид.  М(х+у)=М(х)+М(у)и М(х-у)=М(х)-М(у)

4)Две случ.велич.  Х и У наз. независимыми, если  закон распредел одной из них  не зависит от того, какое значение  принимает другая величина. Несколько СВ наз взаимно-независимыми, если закон распредел. любой из них не зависит от того , какие возможные значения приняли некоторые велич из оставшихся. М(ХУ)=М(Х)М(У), если Х,У независимые . М(Х₁Х₂…Хn)= М(Х₁ )М(Х₂ )…М(Хn) 

27 Вероятностный смысл мат.ожид.

  Пусть было  произведено n опытов в результате которых СВ  Х приняло значение:

     Х₁ – m₁ раз

      Х₂ – m₂ раз 

     X_k – m_k раз                        

      n= m_{1 +} m_{2 +…+}m_k

      X= Х₁m_{1 +} Х₂m_{2 +…+}  X_k m_k /n = Х₁m₁/n ₊ Х₂m₂/n _+…+  X_k m_k/n

Обознач. m₁/n=w₁ (отношение частоты событий). Если значительно увелич. число опытов, то w_i≈p_i  Тогда Х= Х₁ w₁+Х₂ w₂+…+ X_k w_к и Х= Х₁ р₁+Х₂ р₂+…+ X_k р_к =М(Х)   Х≈М(Х)

Х-СВ, среднее  арифмет.  М(Х)- вел. не случайная, это  постоянное число

28 ДИСПЕРСИЯ

Если  мат. ожидание-характеристика положения  СВ, то дисперсия-характеристика разброса отклонения СВ от её мат. ожидания.

СВ Х-М(Х) наз. отклонением СВ Х от её мат. ожидания.

ТЕОРЕМА: Мат. ожидание отклонения равно 0.

ДОК-ВО: М(Х-М(Х))=М(Х)--       М(М(Х))=М(Х)--М(Х)=0, ч.т.д.

Дисперсией  D(Х) СВ Х наз. мат. ожидание квадрата отклонения

D(Х)=М(Х-М(Х))²

ТЕОРЕМА: D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

ДОК-ВО:             D(Х)=М(Х²-2ХМ(Х)+(М(Х))²)=М(Х²)-2М(Х)М(Х)+М(М(Х))²=М(Х²)-2(М(Х))²+(М(Х))²=М(Х²)-(М(Х))²

Св-ва дисперсии:

• D(C)=0, где С=const
• Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

          D(СХ)=С²D(Х)

• Если Х и У независ. СВ, то

 D(Х±У)=D(Х)+D(У)

Х₁,Х₂,Х₃,…,Х_п – независ. величины

D(Х₁+Х₂+Х₃+…+Х_п)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_п)

Замечание: D(Х)≥0

СР. КВАДРАТИЧ. ОТКЛОНЕНИЕ

Положительное значение √D(Х)=σ(Х)

Если  СВ Х измерена в некот. единицах, то мера разброса D(Х) будет измерена в единицах в квадрате, а мера разброса σ(Х) будет измеряться в тех же единицах, что и СВ Х.

Замечание1. Св-ва мат. ожидания и дисперсии верны также и для непрерывных СВ.

Замечание2. Если СВ Х принимает бесконечное чётное множество значений 

                        _∞

тогда  М(Х)=∑ х_ір_і  ,причём если

                              ^і=1

ряд сходится абсолютно, то мат. ожидание у СВ имеется, в противном случае мат. ожидание у данной СВ отсутствует

D(Х)=М(Х-М(Х))²

           _∞

D(Х)=∑ (Х_і-М(Х))²Р_і  ---- ряд

          ^і=1

сходится абсолютно. 
 

 29 БИНОМИНАЛЬНЫЙ ЗАКОН  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ  Х.

 Если  СВ Х принимает значения Х=0,1,2,…,m,…,n     с вероятностью 

                          _m

 P_п(m)=С_nр^mq^{n –m} , то говорят,что СВ Х распределена по биноминальному закону.

 Схема Бернулли повторных независимых  испытаний с вероятностью р=р(А) и  q=1-p

 Рассмотрим  формулу Бинома Ньютона:

                       _{0                    1                                  m}