Шпаргалка по "Высшей математике"

После выбора критерия k множ-во всех его значений распадается на 2 непересекающихся подмножеств: критическую область W и О.Д.З. (или обл. принятия гипотезы).

 

    ОДЗ                         W

                                                                   k          Если значение критерия k_набл. попадает в критич.

 

область, то нулевая гипотеза отвергается  в пользу конкурирующей гип. H₁. Если k_набл. попадает в О.Д.З., то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. рез-ты опыта согласовываются с гипотезой.

    Критической точкой наз. значение критерия k_крит. , кот. отделяет критич. обл. от области принятия гипотезы. Критич. точки определяются из условия:

                             P(k_крит. Î W)= a 

 
 

 55. Алгоритм проверки  стат. гипотез:

 1) Располагая выборочными данными x₁, x₂, … x_n и руководствуясь условиями задачи, формулируют нулевую гипотезу H₀ и конкурирующую H₁.

 2) Задают a.

 3) Определяют  критерий k=k(x₁, x₂, …x_n),  кот. явл. случайной величиной и в силу случайности выборки  x₁, x₂,… x_n  подчиняется при выполнении гип. H₀ некоторому известному затабулированному закону распределения.

 Значения  функции k позволяют судить о расхождении выборки с гипотезой.

 4) Определяют  критич. область. 

 Вер-сть  того, что критерий k примет значение из крит. области равна a (уровню значимости)

 Критич. обл. W должна быть расположена так, чтобы при заданном уровне значимости a вер-сть ошибки II рода b была минимальной.

 5) В  формулу критерия вместо x₁, x₂,…x_n подставляют элементы выборки и вычисляют k_набл. Если k_набл. ÎW, то гипотезу H ₀ отвергают в пользу  H₁.

 Если  k_набл. ÏW, то отвергнуть H₀  нет оснований.

 Замечание: критич. область (правосторонняя, левостор. или 2-хстор.) определяют по виду конкурир. гипотезы H₁.

 
 
 

56. Проверка гипотез  о равенстве мат.  ожиданий 2-х нормально  распределённых СВ  при известных  дисперсиях.

Пусть даны 2 норм. СВ X и Y с параметрами

X®N(a_x, d_x)

Y®N(a_y, d_y)

Д(Y) = d_y² .

Предположим, что дисперсии d_x² и d_y² – известны, а мат. ожидания  M(X)= a_x , M(Y)= a_y  - неизвестны.

Выдвинем  гипотезу H₀ о равенстве мат. ожиданий:    H₀: a_x = a_y. Если  сделаны 2 независ. выборки из ген. совокупностей X и Y , объёмами H₁ и H₂  соответственно:         H₁: a_x ¹ a_y.

Выбираем статистику

/Доказано, что эта статистика Z имеет стандартное нормальное распределение с параметрами (0;1):  Z ® N(0;1) (d₀ = 1). Зададим уровень значимости a. По табл. ф-ции Лапласса по заданному уровню значимости a находим k_крит. =Z_a/2 . (Критич. обл. двусторонняя).

  P( êZ ê³ Z_a/2) = a

P ( êZ ê³ Z_a/2 ) = P( Z £ - Z_a/2)+ P(Z ³ Z_a/2) = P(-¥< Z <-Z_a/2)+ P(Z_a/2£ Z <+¥) = ½ ( Ф(-Z_a/2) -

- Ф(-¥) + Ф(+¥) - Ф(Z_a/2) = ½ (-Ф(Z_a/2) +1+1 - Ф(Z_a/2)) = 1- Ф(Z_a/2)                               

           1- Ф(Z_a/2) = a

Ф(Z_a/2) = 1 - a,

                                     x

где  Ф(х) = 2/Ö2p  * ₀ìe^-t2/2 dt  (Ф-ция Лапласса).

По табл. ф-ции Лапласса мы находим Z_a/2 = k_кр., если:

1)  êZ ê< Z_a/2, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

2)  êZ ê³ Z_a/2, то Н₀ отвергается в пользу Н_1.

3)   H₀:  a_x = a_y

      H₁:  a_x = a_y  

P( Z > Z_a) = a     Þ    Ф(Z_a) = 1 - 2a     (по ф-ции Лапласса и по уровню знач.)

 
 
 

57.Сравнение  двух дисперсий  в нормальной генеральной  совокупности.

   По независимым выборкам объема  n₁ и n₂, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные статистические дисперсии S²_x  и S²_y. Сравниваем эти дисперсии: H₀  : Д(X)=Д( Y); H₁  : Д( X) >Д(Y ). Зададим уровень значимости a. Устанавливаем, что критическая область правосторонняя. В качестве критерия для сравнения нужно выбрать критерий Фишера-Снеддекора.

   Fнабл. < F_кр. – гипотезу H₀  принимаем, в противоположном случае – отвергаем. F_набл.= S²_б  / S²_м , где S²_б – большая по величине исправленная дисперсия, S²_м  - меньшая по величине исправленная дисперсия. Критическое значение критерия F_кр.   находим по тадлице, по уровню значимости a, по числу степеней свободы.

   F_кр. = F(_a,k1,к2 ) ,где к₁₌ n₁  -1; k₂  =n₂ –1.  к – число степеней свободы СВ с большей S²_б.