Шпаргалка по "Высшей математике"

(p+q)ⁿ=C_np⁰qⁿ+C_np¹q^n-1+…+ C_n

                                _n

p^mq^n-m+…+C_npⁿ

 Составим  ряд распределения биноминального закона: 

Числовые  характеристики биноминального закона.

1. М(Х)=np
2. D(X)=npq
3. σ(X)=√npq

 Док-во:

1. Х—число появлений события А в n опытах как сумму n независимых СВ:

 Х=Х₁+Х₂+…+Х_n  , где Х_і—число появлений события А в і-ом опыте. Х_і={0;1}

 

 М(Х)=0*q+1*p=p

                                                                       _n

 М(Х)=М(Х₁+Х₂+…+Х_n)=∑М(Х_і)=

                                                                      ^і=1

 р+р+р+...+р(n раз)=np 

2. D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

 
---

 М(Х_і²)=0²*q+1²*p=p

 М(Х²)=np

 D(Х_і)=М(Х²_і)-(М(Х_і))²

 D(Х_і)=р-р²=p(1-p)=pq

 D(Х)=D(Х_і+...+Х_n)=D(Х₁)+D(Х₂)+

                        _{n                n}

…+D(Х_n)=∑D(Х_і)=∑pq=npq

                             ^{і=1              і=1}

3. σ(Х)=√D(Х)=√npq

   М(Х)=np

   D(Х)=npq

   σ(Х)=√npq

                           ч.т.д. 
 

   30 ЗАКОН ПУАССОНА.

 Пусть СВ Х принимает значения:

   Х=0,1,2,…,m,…

   P(X=m)=P_n(m)=(e^-λ λ^m)/m!

 Р-вероятность  появления события А в одном  из n независимых испытаний, когда n достаточно велико, а р-мало. λ=nр

 Запишем ряд распределения СВ Х, который будет называться законом Пуассона.

   _∞

 ∑p_і= e^-λ + e^-λ/1! + e^-λ λ²/2!+...+

 ^і=1

 e^-λ λ^m/m!+...= e^-λ (1+λ/1!+ λ²/2!+...+ λ^m/m!+…)

 Выражение в скобках представдяет собой  ряд Маклорена для функции  

 e^x=1+х/1!+х²/2!+… , при х= λ

 _∞

 ∑ λ^m/m!= e^λ

     ^m=0

 ∑p_і= e^-λ * e^λ

 Определим числовые характеристики закона Пуассона: М(Х)=λ;  D(Х)=λ; σ(Х)=√λ

Доказательства:

                 _{∞                                        ∞}

 1. М(Х)= ∑  (me^-λ λ^m)/m!= e^-λ∑ λ^m/

                           ^{m=0                                    m=1}

                        _∞

 /(m-1)!= e^-λλ∑ λ^m-1/(m-1)!=e^-λ λ* e^λ

                           ^m=1

=λ 

   М(Х)=λ  , ч.т.д. 

2. D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²= 

  _{∞                                            ∞}

= ∑  (m²e^-λ λ^m)/m!= e^-λ∑ mλ^m/(m-1)!=

   ^{m=0                                      m=1}

           _∞

= ∑ e^-λ∑ ((m-1)+1)λ^m/ (m-1)!=

               ^m=1

                ^∞

= e^-λ∑ ((m-1)λ^m/(m-1)!+λ^m/(m-1)!)=

              ^m=1

         _∞                                             ^∞

= e^-λ∑ (m-1)λ^m/(m-1)!+ e^-λ∑ λ^m/

          ^{m=1                                        v=1}

                              _∞

/(m-1)!= e^-λ∑ λ^m-2 λ²/(m-2)!+

                      ^m=2

       _{∞                                     ∞}

+  e^-λ∑ λ^m/(m-1)!= e^-λλ²∑ λ^m-2/(m-

              ^{m=1                                 m=2}

                              _∞

 2)!+ e^-λλ∑ λ^m-1/(m-1)!= e^-λ λ²* e^λ+

             ^m=1

+ e^-λ λ* e^λ= λ²+ λ

М(Х²) = λ²+ λ

D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²= λ²+ λ- λ²= λ

D(X)=M(X)= λ

   3.  σ(Х)=√ D(Х)=√λ  , ч.т.д.

 Замечание: закон Пуассона зависит от одного параметра λ; биноминальный закон зависит от n,p.

 B(n;p) 
 
 

31. M(x) , D(x) СВ, распределённых по закону Пуассона

M(x)=  

D(x)=M(x²)-(M(x))²

M(x²)=

D(x)=M(x²)-(M(x))²= - =             (+см. п. 30)

 В законе  Пуассона мат. Ожидание равно  дисперсии  M(x)=D(x)=λ

Закон Пуассона зависит от одного параметра λ, биномиальный закон зависит от  n , p 
 
 
 

32.)плотность  распределения вероятностей  непрерывных СВ. Её  свойства.

 Пусть рассматривается  непр. СВ Х ф-ии распр-я  F(x), которая непрерывна и диф-на в рассматриваемой области (вся ось OX). Рассмотрим отрезок  x+∆x

P(x<X< x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)=P(x<X< x+∆x)/ ∆x= ,

f(x)=F`(x)  (1)плотность распределения вероятностей  непр. СВ Х

Вер-ть попадания  НСВ на интервал теорема:

Док-во:P(a<X<b)= F(b)-F(a), где F(x)- ф-я распределения СВ Х.

f(x)=F`(x)  - ф-я распр-я F(x) является первообразной для плотности распределения f(x), поэтому =F(b)-F(a)= =P(a<X<b)

Теорема 2: если известна плотность распределения  f(x) НСВ Х, то ф-ия распределения F(x)=    (2)

Док-во: F(x)=P(X<x)=P(-∞<X<x)=

Основные  свойства плотности  распределения:

1. f(x) определена на (-∞;+∞)

доказательство  следует из того, что f(x)=F`(x) , а ф-ия распределения F(x) неубывающая,=>её производная F`(x)>0

2. Условия нормировки:   (3)  доказательство следует из формулы (2)

 
 
 

33) Равномерное распределение.  Числовые характеристики  и функция распределения.

Пусть НСВ Х  имеет плотность распределения  f(x),

1. Мат. Ожидание  M(X)=    (1);  2. Дисперсия D(x)=    (2)

также дисперсию  можно находить по ф-ле: D(x)=M(x²)-(M(x))²            D(x)=    (3)

при этом все  несобств. Интегралы предполаг-ся абсолютно  сходящимися. В противном случае числовых хар-к у раких СВ не существует. 

Равномерное распределение:

Непр. СВ Х наз-ся распределённой по равеномерному з-ну, если плотность её  распределения имеет вид:

f(x)={ 0, x<a;

           c=const, a<=x<=b

           0, x>b

                =1    c(b-a)=1     c=1/(b-a) 

f(x)={ 0, x<a;

           1/(b-a), a<=x<=b

           0, x>b

M(x)=

D(x)=

M(x)= ;   D(x)=(b-a)²/12;  ;  F(x)= ,  

1) x    F(x)=0;  2) x    F(x)=(x-a)/(b-a);  3) x    F(x)=1

F(x)={ 0, x<a;

            x-a/(b-a), a<=x<=b

            1, x>b 

34 Показательное распределение

Непрер.СВ наз.распределенной по показательному доходу,если ее плотность  имеет вид

0, x<0

f(x)=         l*e^-lx,x>=0          l>0 

½x=U  dU=dx                ½

M(x)=lòe^-lxxdx=_aò^bUdV=UV½^b_a-_aò^bVdU=½e^-lxdx=dV V=- e^-lx /l ½=l(-x^-lx/lú₀^+¥ -1/l₀ò^+¥ e^-lxdx)=-x/ e^lxú₀^+¥- e^-lx/lú₀^+¥