ТЕОРИЯ  ФУНКЦИИ  КОМПЛЕКСНОГО  ПЕРЕМЕННОГО

 
 

1.  КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 
 

Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел .

Над комплексными числами и  введены операции:

1. Равенства: ,  если  

                                                   

2. Сложения: 

3. Умножения: 

Данные  операции обладают свойствами:

1. Коммутативности:   и 
2. Ассоциативности:  и
3. Дистрибутивность:

Поскольку результаты операций сложения и умножения  над числами вида (x,0) совпадают с результатами тех же операций над действительными числами, то числа (x,0) отождествляют с действительными числами x  и множество действительных чисел  Д  считают подмножеством  множества комплексных чисел С.

Число (0,1) называют мнимой единицей и обозначает i , по правилу произведения то есть .

Используя правила сложения и умножения  комплексных чисел, получаем:

z  = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y,0) (0,1) = (x,0)(y,0)i = x + yi

z = x + yi -  алгебраическая форма записи комплексного числа.

x = Re z      -  действительная часть комплексного числа z .

y = Im z      -  мнимая часть комплексного числа z .

  - модуль комплексного числа  z .

Число   называется сопряженным с числом  z = x+yi

z и  - пара комплексно сопряженных чисел. 

Свойства  комплексно сопряженных:

1. z+ = 2 Re z
2. z- = 2i Im z
4. z = , если  z – действительное

Разностью двух комплексных чисел  и называется комплексное число z , определяемое равенством:

 
 
 

Частным двух комплексных чисел и называется комплексное

число z , определяемое равенством:

 Частным двух  комплексных чисел  и называется комплексное  число z,

такое что 

или  , - действительное число.

То есть для деления достаточно  домножить числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю.

Заметим, что операции над комплексными числами  в алгебраической форме записи выполняются  как действия над двучленами в  алгебре.

Например:

Геометрически комплексное число z=(x,y) можно изобразить на плоскости точкой М(x,y) или вектором идущим из начала координат в эту точку.

                                              y   

                                                 

                                              y               M

                                                    r         

                                                            

                                              0             x                  x            

Плоскость, точкам которой поставлены в соответствие комплексные числа, называется комплексной  плоскостью. OX называется действительной осью, на ней располагаются все действительные числа, OY – мнимой осью, на ней располагаются чисто мнимые числа вида yi.

Очевидно, что длина вектора равна модулю комплексного числа z, который обозначают  . Угол , образованный вектором и положительным направлением оси OX,  отсчитываемый против часовой стрелки от OX, называется аргументом комплексного числа z и обозначается

- определен с точностью до  . Значение угла в интервале называют главным значением аргумента комплексного числа z и обозначают , то есть - целое . Из чертежа видно, что

Получаем  - тригонометрическая форма записи комплексного числа z . Для перехода к тригонометрической форме записи применяют формулы:

 и   

           

           

argz=

          

Для z=0 argz не имеет смысла.  

Используя формулу Эйлера , получаем - показательная форма записи комплексного числа z.

Свойства  модуля и аргумента:

1. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:
2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей:
3. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей: .
4. Аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов:

Из этих свойств легко получить формулу  возведения комплексного числа в  целую положительную степень:  т.к. и , то   - формула Муавра

     - формула Муавры в показательной форме.

Число называется корнем n-й степени из комплексного числа z, если .

Пусть и , тогда по формуле Муавра           

Таким образом, - формула для корня целой положительной степени   . Брать большие, чем n-1 не имеет смысла, так как будут получаться уже имеющиеся значения аргумента. Таким образом, корень n-й степени из комплексного числа z имеет ровно n значений, на комплексной плоскости эти значения лежат в вершинах правильного n-угольника.

Например, и Найти,

Переведем числа в показательную форму 

,  

arg z =

 

     0,1,2,3                                        

   

                                                                                                                                                    

    

        
 

Ответ:

                                                                                                                   y 

                                                                                                                   

                                                                                                    

                                                                                                               o                      x 

                                                                                                                       
 
 
 
 

2.     ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. 
 

Рассмотрим  последовательность комплексных чисел 

Число называется пределом последовательности , если для любого >0 существует такой положительный номер , что при n>N выполняется .

Обозначают          

Последовательность, имеющая предел   называется сходящейся. Если положить

 тогда можно доказать что  если  то и . То есть, если сходится последовательность   то сходятся последовательности и составленные из действительных и мнимых частей последовательности . 

1. МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим точку  на комплексной плоскости -окрестностью точки если       y

                                                                 

                                                                     

                                                                                                                                                

                                                                       

                                                                                          x

                                                                                      

Тогда  определение  предела можно переформулировать:

Последовательность  называется сходящейся к пределу , если для любого сколь угодно малого все точки последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат - окрестности .

Бесконечное комплексное число называется бесконечно удаленной точкой или бесконечностью и обозначается .

-окрестностью  бесконечно удаленной  точки называется внешность круга с центром в точке (0,0) и радиусом .               y

                                                        

                                                                           

                                                                                 

                                                                        0                       x

Очевидно, что z принадлежит - окрестности если . Таким образом последовательность сходится к бесконечно удаленной точке, если для всякого сколь угодно большого >0 все члены последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат - окрестности бесконечно удаленной точки. Для не имеет смысла понятия аргумента, действительной и мнимой части. Однако определены операции: