Теория функции комплексного переменного

то  есть          ( )

     Поскольку  произвольным образом, то пусть в (*) и ,     

     тогда  [Из существования предела                 комплексного выражения следует существование пределов из его действительной и мнимой части] =

     =               (1)

      Аналогично полагая в (*)  и получаем

               (2)

     Сравнивая действительные и мнимые части (1) и (2) получаем условия 

     Коши  – Римана.

2. Достаточность.

Пусть справедливы  условия Коши – Римана и функции  u (x,y) и v (x,y) дифференцируемы в точке z. Это означает, что их приращения можно представить в виде:

,

где и - бесконечно малые более высокого порядка, чем

Рассмотрим  отношение приращений:

= [Используя в первом слагаемом и ] =

= [обозначим второе слагаемое ] = , где - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Переходя  к пределу получаем:

[Первые два слагаемых постоянны по отношению к а при ] = Таким образом предел, определяющий производную f”(z) существует  и тем самым           w = f(z) дифференцируема в точке z .>

Условия Коши – Римана называют условиями аналитичности функции в точке и области.

Если действительная и мнимая части функции f(z), заданы от комплексной переменной z в показательной форме, то есть то условия Коши – Римана примут вид: и и

Например:   1.   Найти область аналитичности  .

Выделим действительную и мнимую части:

                      

                        

                         , таким образом функция дифференцируема, то есть аналитична только в точке , в остальных точках комплексной плоскости не дифференцируема. .

3. Найти область аналитичности .

                                    

                         

                         , k=0,1.

Очевидно, равенства идентичны  и условия  Коши – Римана  выполняются для  всех допустимых и .  Следовательно, функция дифференцируема на всей области определения, то есть на всей комплексной плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки.

, k=0,1. 
 
 

4. Гармонические функции

 

Действительные  функции u(x,y) и v(x,y) называются сопряженными, если их связывают условия Коши – Римана.

Действительная  функция u(x,y), имеющая непрерывные частные производные до второго порядка включительно, называется гармонической, если удовлетворяет уравнению Лапласа:

Рассмотрим  условия Коши – Римана. Продифференцируем  первое из них  по x, а второе по y, получим и . Складывая эти равенства, получаем:

Если дифференцировать условия Коши – Римана наоборот, то для функции v(x,y) можно получить

Таким образом u(x,y) и v(x,y) – гармоничные функции.

Теорема 2.

Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) была дифференцируема в области Е необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая части были сопряженными гармоническими функциями.

Теорема 3.

“Для всякой функции u(x,y) гармоничной в односвязной области Е, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию с точностью до постоянной.”

Пример:   Найти аналитическую функцию, зная её действительную часть  . Поскольку искомая функция аналитична, то мнимая её часть v(x,y) будет гармонической сопряженной с u.

Из условий  Коши – Римана

Таким образом   

5. Геометрический  смысл производной  Ф.К.П.

 

Пусть функция w=f(z) отображает область Е на XOY в область D на WOV. , точка , точка - образ точки принадлежит D. Пусть в точке пересекаются кривые и , а в точке пересекаются образы этих кривых - и .

Пусть функция  дифференцируема в точке 

(*)       Пусть и  
 

y                                                                    

                                                                                           

                                                                                 

                                                                                                   

                                                                                       

                                                                                   

0                                                         x        0                                                              u 
 

Пусть , так, что точки , тогда и изображаются векторами секущих, а при переходят в вектора касательных к и . и - длины этих векторов касательных. Из (*) имеем , следовательно, с точностью до величин более высокого порядка малости чем , можно записать .  (1)

Если  стремится к 0, так что и ,то проведя аналогичные рассуждения получим равенство (1).Т.О., (1) не зависит от направления и можно сделать вывод : Геометрически модуль производной ф.к.п. является коэффициентом растяжения в окрестности

точки и не зависит от направления. Это свойство называют свойством постоянства растяжений.

Рассмотрим  и  . Это углы, которые составляют и с положительными направлениями Ох и Ou. Из (*) имеем

Пусть теперь , так чтобы и ,и и теперь касательные к и . Обозначим и , тогда аналогично получаем

Т.о.,                

В равенстве (2) - угол между кривыми и , - угол между кривыми и . Т.о., геометрически это означает , что угол между кривыми в точке при отображении , (при условии ) равен углу между их образами в точке . Это свойство называют свойством сохранения углов.

Поскольку , то очевидно что при отображении все кривые в точке поворачиваются на один и тот же угол равный аргументу производной  в этой точке .

Отображение окрестности точки  на окрестность точки функцией называется  конформным, если оно обладает в окрестности свойством сохранения углов и свойством постоянства растяжений.

Заметим, что при рассмотрении геометрического  смысла производной мы опирались  на дифференцируемость в точке . Т.о., отображение с помощью всякой аналитической функции (в тех точках где ) является конформным. 

6.     ИНТЕГРИРОВАНИЕ   Ф.К.П 

Пусть определена и непрерывна в области Е.

- гладкая кривая Е. Разобьём точками на частичные дуги.

                                                  

                                                         

                                                    

                                      

                                        
 

                                                                                                                

Внутри каждой частичной дуги выберем точку и вычислим в ней значение функции .Составим произведение , где ,  по всем частичным дугам  и суммируем их:

Пусть - максимальное из всех .

Если  существует конечный предел интегральной суммы  при , не зависящий от способа разбиения кривой L и выбора точек , то этот предел называется интегралом от по кривой L и обозначается :

.

Пусть , тогда

Таким образом существование интеграла  от f(z) сводится к существованию двух криволинейных интегралов 2-го рода от действительных функций u(x,y) и v(x,y), которые являются действительной и мнимой частями f(z).

Если  кривая L задана параметрическим уравнением z = z (t) = z (x(t), y(t)), при , то используя формулу вычисления криволинейного интеграла 2-го рода, получаем:  Свойства интеграла:

1. При изменении ориентации кривой интеграл меняет знак.         

2. Линейность.

   , и =const.

3. Аддитивность.  Если , то 
4. Если вдоль кривой L выполняется неравенство и длина L равна , то .
6. Теорема Коши

 

Теорема Коши: «Если f(x) является аналитической функцией в односвязной области Е, то интеграл по любому замкнутому контуру , равен 0.» Доказательство: < Поскольку f(z) = u+iv дифференцируема в области Е, то следовательно для u и v выполняются условия Коши – Римана: и . Рассмотрим .

  Поскольку , то выражение vdx + udy является полным дифференциалом некоторой функции, а как известно, интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала функции равен 0.

Аналогично, используя условие Коши – Римана, получаем .>

Следствие: Интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования. < Пусть условия теоремы Коши выполняются. Разобьем контур