Теория функции комплексного переменного

y">

Операции  не имеют смысла.

Комплексная плоскость дополненная  называется расширенной комплексной плоскостью.

Пусть Е – некоторое множество комплексных  чисел. -  называется внутренней точкой множества Е  если любая её -окрестность содержит только точки принадлежащие Е.

- называется  граничной точкой  множества Е, если всякая её окрестность содержит точки принадлежащие Е и не принадлежащие. Граничные точки могут принадлежать и не принадлежать Е.

Множество, состоящее из одних внутренних точек, называется областью. Совокупность всех граничных точек области называется границей области. Множество, состоящее из области Е и её границы, называется  замкнутой областью

Множество точек называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат данному множеству.

Область Е называется односвязной, если её граница является связным множеством, в противном случае - многосвязной.

Например:                                                                        

 
 

                                                                             y 
 

                                                                        0       1   2

                                                                                                           x

                                                                      -i             

                                                                                                    E

                                                                                                   

Кольца  с центром 2-i и радиусами 1 и 2 являются замкнутой многосвязной областью . 
 
 

3.  ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО  ПЕРЕМЕНОГО 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ  Ф.К.П.

 

Пусть z принимает любые значения из области Е на расширенной комплексной плоскости. Тогда x называют комплексным переменным с областью изменения Е.

W называется функцией комплексного переменного z, если каждому значению z соответствует одно или несколько комплексных значений w, то есть w=f(z). Пусть и Тогда и то есть задание ф.к.п. w эквивалентно заданию двух действительных функций и от двух действительных аргументов x и y.

Пусть w=f(z) однозначная функция при

Число А называется пределом функции f(z) при по множеству Е, если для любого сколь угодно малого найдется такое что для любого и удовлетворяющего условию выполняется неравенство Обозначают,     

Пусть , тогда существование предела   эквивалентно существованию двух действительных пределов  и .

Пример:  

Свойства  и вычисление предела ф.к.п. аналогичны свойствам и вычислению предела действительной функции.

Функция f(z) называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности и

Если  f(z) непрерывна в каждой точке множества Е, то говорят, что f(z) непрерывна на множестве Е.

Если  обозначить , то условия непрерывности f(z) в точке эквивалентны непрерывности действительных функций u(x,y) и v(x,y) в точке то есть  и

Поэтому многие свойства непрерывных функций  действительных аргументов справедливы  и для ф.к.п. (непрерывность, сложение, вычитание, умножение сложной функции). 
 
 
 

2. ОСНОВНЫЕ  ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ  КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

 

1. Показательная функция.

 

 для комплексного переменного  определяется формулой:

Свойства  показательной функции:

1. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. Периодична с периодом 2 i,т.е.
3. Принимает все значения ,кроме0,т.е.уравнение разрешимо для любого комплексного
4. и  

 

2. Логарифмическая функция.

 

Функция, обратная к показательной функции  , называется логарифмической  и обозначается .

Она определена для любого значения z отличного от 0 и .

Пусть , тогда и из свойств  показательной функции:

Получаем:

Данная  функция многозначна, так как  Argz имеет множество значений:

Величина  называется главным значением логарифмической функции. Остальные отличаются от главного значения на

Таким образом,     

Свойства:

2.

3. Тригонометрические функции

 

Функции sinz и cosz для комплексного переменного z определяются формулами: ; 

Свойства:

1. Непрерывны на всей комплексной плоскости.
2. Периодичны с периодом
3. Принимают любые значения, то есть уравнения sinz=A и cosz=A имеют решения для любого комплексного А.
4. sin(-z)=-sin(z) – нечетная функция

сos(-z)=cos(z) –четная функция.

   5.   sinz=0 при ;   cosz=0 при

   6.   Функции tgz и ctgz определяются формулами:

      и

      tgz непрерывна при

      ctgz непрерывна при

6. Все тригонометрические формулы для действительного аргумента x справедливы и для комплексного аргумента z.

 

4.   Гиперболические функции. 

Функции shz и chz для комплексного переменного z  определяются формулами:

Справедливы равенства:  и

Таким образом свойства гиперболических  функций определяются свойствами тригонометрических. Все формулы справедливые для  гиперболических функций действительного  аргумента x справедливы и для комплексного z. 

5. Обратные  тригонометрические функции.

 

Arcsinz, Arccosz, Arctgz и Arcctgz определяются как обратные функции соответствующих тригонометрических функций, выражается через логарифмическую функцию и следовательно являются многозначными.

Например, если z=sinw, то w называется  арксинусом числа z и обозначается .

Так как 

                                                      

Пусть , тогда

Отсюда   

Таким образом 

Аналогично  можно получить 

 

6.   Обратные гиперболические  функции 

Arcshz, Archz, Arthz, Arcthz определяются как обратные функции соответствующих гиперболических функций. Их аналитические выражения определяются аналогично выражениям для обратных тригонометрических функций.

 

 

6. Общая степенная функция

 

Степенная функция  для натурального n определяется формулой Муавра. Если же показатель является комплексным числом то такая функция называется общестепенной и определяется формулой 

где

Данная  функция многозначна, выделяют её главное значение ,т.е. и 

Например:

1.   Вычислить:   Ln(-3+4i).

. ,

2.    Решить уравнение   tgz = 2i

 

3.   ,  
 

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 
 

1. Производная Ф.К.П.

 

Пусть w=f(z) определена в некоторой окрестности точки , принадлежащей множеству Е.

Обозначим 

                    

Если  существует конечный предел отношения  при стремящимся к 0, то он называется производной функции w=f(z) по множеству Е в точке и обозначается 

Функция, имеющая производную в точке  , называется дифференцируемой по множеству Е в точке .

Функция, дифференцируемая в каждой точке  области (множества) Е, называется аналитической в области (на множестве) Е.

Производная ф.к.п. обладает теми же свойствами, что  и производная действительной функции. 

2. Дифференциал  Ф.К.П.

 

Если  функция w=f(z) дифференцируема в точке , то существует  , тогда можно воспользоваться теоремой о связи пределов и бесконечно малых и записать , где - бесконечно малая при .

Тогда

Дифференциалом  ф.к.п. называется главная часть приращения этой функции, линейная относительно приращения аргумента. Обозначается Заметим, что для w=z имеем то есть

Дифференциал  ф.к.п. равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.

Свойства  дифференциала ф.к.п. аналогичны свойствам  дифференциала действительной функции.

3. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф.к.п. в точке

 

Теорема:   “Для того, чтобы  функция w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) определенная в некоторой области Е, была дифференцируема в точке z этой области, необходимо и достаточно, чтобы действительные функции u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы в той же точке и выполнялись условия Коши – Римана: и .

Тогда справедлива формула для производной:

”

Доказательство:<

1. Необходимость.

Пусть w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) дифференцируема, то есть существует предел