Теория вероятностей

Exp(m)=Г(1, m) . 

     5. Нормальное распределение N(a, s).

     Его порождает интеграл Пуассона - Эйлера:

.

     Распределение с плотностью

назовем стандартным нормальным законом. Ему  соответствует функция распределения

.

     Обычно  табулируют или  или интеграл Лапласа (называемый также интегралом вероятностей или интегралом ошибок):

.

     Функция распределения стандартного нормального  закона просто через него выражается:

.

     Если  в интеграл Пуассона ввести параметры  масштаба s>0 и сдвига a с помощью замены  переменной интегрирования , то он примет вид

,

здесь переменную интегрирования вновь обозначили буквой х.  Случайную величину Х с плотностью вероятности

называют  нормально распределенной случайной  величиной или просто нормальной. Такое название объясняется особой распространенностью нормального  закона. Как будет показано ниже, при весьма общих условиях сумма большого числа независимых слагаемых с хорошей степенью точности распределены по нормальному закону, а многие часто встречающиеся на практике величины можно понимать как результат суммирования многих мелких факторов. Например, на результат измерения почти любой физической величины влияют много мелких и независимых обстоятельств: качество аппаратуры, квалификация и старательность измерителя, освещенность в помещении и т.д. Можно ожидать, что как правило любое физическое измерение ведет к нормальному распределению измеренной величины и ошибки измерения. Опыт действительно подтверждает подобные ожидания.

      Будем обозначать нормальный закон N(a, s).  Числа а и s   играют роль параметров, причем а может быть любым вещественным числом, а s - лишь положительным. График р(х), очевидно, имеет вид

a - точка максимума плотности, значение которого равно . Кривая симметрична относительно . Так как площадь под кривой плотности всегда равна единице, то, чем меньше s , тем больше вероятностной массы сосредотачивается в окрестности максимума .  Таким образом, устанавливаем вероятностный смысл параметров нормального закона: областью наиболее вероятных значений нормальной случайной величины является окрестность точки а, а s  указывает на степень концентрации вероятности в окрестности точки а: чем меньше s , тем менее вероятны заметные отклонения Х от а.

     В математике и физике нормальную плотность  при s®0 часто берут в качестве аппроксимации дельта - функции.

     Функцию распределения нормального закона N(a,s) легко выразить через функцию распределения стандартного закона N(0, 1) и интеграл Лапласа:

Делаем  замену переменной :

.

     Задача. Попробуйте на основе свойств нормального распределения и теоремы о независимых событиях из § 1 главы 1 доказать теоремы Крамера и Скитовича – Дармуа:

1. Если сумма независимых случайных величин распределена по нормальному закону, то и слагаемые нормальны (Г.Крамер).
2. Если две линейные формы из независимых слагаемых независимы, то они распределены нормально (Скитович – Дармуа).

 

     6. Геометрическое распределение  G(q).

     Его порождает геометрическая прогрессия:

.

     Соответствующая дискретная случайная величина имеет возможные значения x_k=k, k=1, 2, ... ,  с вероятностями . Обозначим этот закон G(q), параметром может служить любая точка q из интервала (0, 1). 

     7. Пуассоновское распределение П(l).

     Его порождает разложение в ряд показательной  функции:

,

которому  отвечает дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные  значения x_k=k=0, 1, ...  с вероятностями .

     Будем обозначать это распределение П(l),  l>0 - его параметр.

     Распределение Пуассона, как оказалось, весьма часто  встречается в практических приложениях. Например, число автомобильных катастроф  в городе за день, число распавшихся  в единице массы радиоактивного вещества в единицу времени частиц, число опечаток на странице машинописного текста, число телефонных звонков вам за день, число забитых в футбольном матче голов и т.д. с хорошей степенью точности распределены по закону Пуассона. 

     8. Биномиальное распределение В(n, p).

     Его порождает формула бинома Ньютона:

.

     Чтобы сумма вероятностей равнялась единице  и все они были положительны, возьмем  p>0,  q>0,  p+q=1, т.е.  . Возможными значениями будем считать x_k=k=0, 1, ... , n , а их вероятностями .  Обозначим   это  распределение В(n, p).

     Биномиальная  случайная величина появляется, например, в схеме Бернулли, называемой также  схемой последовательных независимых  испытаний. Состоит она в следующем: осуществляется некоторый комплекс условий, при котором мы обязательно будем иметь успех с вероятностью р,  либо неудачу с вероятностью ; попытка иметь успех повторяется независимым образом n раз. Считая опытом все n попыток, будем понимать под элементарным исходом опыта цепочку из успехов и неудач, например, 

     Определим случайную величину Х, задав ее как число успехов в n испытаниях. Событию (Х=k) благоприятствуют те элементарные события, которые содержат успех ровно k раз, неудачу - остальные (n-k) раз. Число таких благоприятствующих событию (Х=k) элементарных событий равно, очевидно, , а вероятности всех их одинаковы и равны по теореме умножения для независимых событий . Окончательно получаем

,

а возможными значениями случайной величины Х оказываются числа x_k=k=0, 1, ... , n . Таким образом, число успехов Х в схеме Бернулли - биномиальная случайная величина: ХÎВ(n, p).

     Пусть имеется вероятностное пространство (W, F, P) и рассматривается некоторое событие А. Обозначим его вероятность Р(А)=р.  Пусть испытание независимым образом повторяется n  раз, причем событие А в этих n  последовательных попытках наблюдалось k раз. Число k называется абсолютной частотой события А. Оно является конкретным значением случайной величины Х, определенной на серии из n наблюдений. Ничто не мешает объявить событие А успехом, а событие - неудачей. Это превращает последовательность из n независимых испытаний в схему Бернулли, а абсолютная частота события А оказывается распределенной по закону В(n, p).

     Вся наша жизнь состоит из многочисленных попыток иметь тот или иной успех, в то время как нас может  подстерегать и неудача. Отсюда ясно, сколь часто встречается биномиальное распределение в практике.

     Геометрическое распределение G(q) также просто связано со схемой Бернулли: будем повторять попытку до появления первого успеха. Элементарным событием в таком опыте является цепочка

а случайная  величина Х - число попыток n, пока не придет первый успех. Очевидно, возможные значения этой случайной величины равны x_k = k = 1,2,... , а их вероятности , что совпадает с геометрическим распределением G(q). 

      9. Гипергеометрическое распределение.

     Это распределение появляется в задаче о лотерее: выпущено N билетов, разыгрывается M выигрышей, куплено n билетов. Чему равна вероятность получить m выигрышей? Очевидно, по классическому определению

.

      Это распределение является фундаментальным: все основные распределения, как дискретные, так и непрерывные, являются предельными формами гипергеометрического распределения. 

     10. c² – распределение.

     Пусть Х₁ , ... , Х_n  - независимые нормально распределенные с.в.:

.

     Определим сумму их квадратов:

и найдем закон распределения с.в. :

     Проведем  интегрирование по сферическим слоям, учтя, что подынтегральная функция  постоянна на любой n-мерной сфере . Обозначим V_n(r) - объем n-мерного шара радиуса r,  S_n(r) - площадь n-мерной сферы радиуса r.  Очевидно,

.

Частные значения для n=2 и n=3 нам известны:

.

     Считаем очевидным, что  , и, следовательно, , где C_n - константа,  которую нам предстоит найти. Продолжим прерванную цепь равенств:

.

     Мы  превратили n-кратный интеграл в однократный.

     Отсюда  выводим выражение для плотности:

.

При x<0,  очевидно, .

     Неизвестную константу C_n  можем теперь найти из условия нормировки:

.

     Сделав  в интеграле замену и воспользовавшись свойствами гамма-функции, получим  т.е. .

     Окончательно  находим закон распределения  величины :   при x>0

,       .

     Обозначим это распределение . Очевидно, = .

     Этот  закон табулирован, и нет необходимости  вычислять интеграл точно для  четных n,  для которых он берется в элементарных функциях.

     Нам ниже понадобится еще закон распределения величины c_n .   Для y>0

.

Отсюда       и    .

     Число n играет роль параметра этих распределений. Его название “число степеней свободы” станет ясно ниже.

       Мы нашли константу C_n  и, следовательно, установили формулы для объема n-мерного шара и площади n-мерной сферы из простого условия нормировки:

.

     При n=1 отсюда получаем  .

     “Объем  одномерного шара” радиуса  r, очевидно, равен 2r; почему “площадь одномерной сферы” оказалась равна 2 мы поймем, если вспомним, что естественной мерой конечного множества является число элементов, а “одномерная сфера” образована двумя концами отрезка длины 2r .

     Задача. Для плотностей и найдите точки максимума и точки перегибов. Установите, под каким углом к осям координат выходят графики из нуля в зависимости от n =1,2,3... Постройте примерные графики плотностей. 

     11. Распределение Стьюдента.

     Пусть даны две независимые случайные величины   и   c_n .

     Определим с.в.                   .      Ее плотность равна

     Делаем  замену переменной интегрирования: