Теория вероятностей

Валентин  Михайлович Калинин

(1936-2006)

Теория  вероятностей

Последний подарок студентам, инженерам и ученым России будущего 

Предисловие

      Теория  вероятностей - бурно развивающаяся  область современной математики. Ее развитие состоит, в основном, в  развитии приложений, ставших самостоятельными специальностями. К ним можно отнести математическую статистику, теорию случайных процессов, теорию информации, теорию массового обслуживания, теорию надежности, метод наименьших квадратов, метод Монте- Карло, теорию игр, теорию случайных блужданий, планирование эксперимента, распознавание образов и т.п. В одной книге невозможно изложить все эти разделы, - по ним написаны сотни книг и тысячи статей. Как заметил Козьма Прутков, нельзя объять необъятное.

      Настоящий учебник подробно излагает классическую теорию вероятностей и ее главное ответвление - математическую статистику. С сожалением я отказался от включения в текст последовательного анализа Вальда, робастности и новейших идей в теории оценок. Из других областей я старался дать наиболее характерные примеры. Так, из теории случайных процессов я выбрал для подробного изложения пуассоновский процесс, из теории игр - матричную игру с конечным числом стратегий, из метода Монте- Карло - вычисление интегралов, хотя этим методом можно решать самые разнообразные задачи: искать решения алгебраических уравнений, численного решать дифференциальные уравнения в частных производных и многое другое. Теория блужданий и теория информации представлены лишь конкретными примерами.

      Превращение технических вузов в технические университеты не могло не повлиять на содержание курса. Однако если в старых университетах развитие пошло в направлении функционального анализа, то возникающие в технике конкретные задачи потребовали обратиться к исключенным из курсов анализа и теории вероятностей полиномам Бернулли и формуле Эйлера - Маклорена.  Здесь нашли свое место мои результаты и я надеюсь, это не будет слишком раздражать моих читателей.

      Вообще  в теории вероятностей вклад русских  математиков особенно велик. Имена Чебышева, Ляпунова, Маркова, Колмогорова, Линника и многих-многих других - среди создателей теории вероятностей. Я объясняю это особым характером русской души. Недаром такие вероятностные термины как "авось", "небось" и "кажись", понятные и простые для русского человека, встают непреодолимой преградой перед иностранными переводчиками.

      В заключение несколько технических  замечаний. Книга разделена на главы, главы - на параграфы. Формулы нумеруются заново в каждом параграфе. Ссылка на формулу в пределах параграфа содержит лишь номер формулы. Ссылка на формулу в другом параграфе в той же главе содержит два числа: номер параграфа и номер формулы. И, наконец, ссылка на формулу в другой главе содержит три числа: номер главы, номер параграфа и номер формулы.

    Для сокращения текста я иногда  пользовался сокращениями: с.в. – случайная величина, ф.р. – функция распределения, п.в.- плотность вероятности, х.ф. – характеристическая функция, з.р. – закон распределения, м.о. – математическое ожидание. Думаю, что по контексту нетрудно установить, в каком падеже стоят эти сокращения. С этой же целью интеграл по всей оси иногда пишется без указания пределов интегрирования.

         Еще одна особенность изложения:  при длинном выводе какой-либо  математической формулы, если нужно вставить необходимые замечания, я обрываю вывод на знаке равенства и, сделав словесные вставки, продолжаю вывод со знака равенства. Еще одно новшество в учебнике  -  отсутствие вычислительных таблиц в приложениях. Причина этого  -  в широком распространении компьютеров и средств программирования.  Нет никакого смысла пользоваться таблицами, обычно дающими небольшое количество знаков, и вносить дополнительную ошибку при интерполяции и экстраполяции. По этой же причине я не наполнил книгу рисунками, их обычно можно при индивидуальной работе получить на экране собственного монитора, нажав несколько клавишей.    

      В заключение хочу выразить мою признательность  старшему преподавателю В.И. Сушкову и научному сотруднику С.В. Ганцевичу, которым я обязан помощью в создании макета книги, многочисленными советами и замечаниями. 

Доктор  физико-математических наук 
профессор В. М. Калинин 

 

Глава 1. Случайные события.

§ 1. Алгебра событий.

     В основе теории вероятностей лежит следующая  модель: имеется комплекс условий, который можно воспроизводить, хотя бы принципиально, неограниченное число раз. Каждое его воспроизведение называется опытом, испытанием, экспериментом. Предполагается, что в каждом опыте происходит одно и только одно так называемое элементарное событие w.  Все множество элементарных событий, которые могут происходить в опыте, называется пространством элементарных событий W. Элементарные события называют также исходами опыта. Понятия “элементарное событие” и “происходит” являются первоначальными неопределенными понятиями, подобно геометрическим понятиям “точка” и “лежит”. Считаем, что нам изначально ясно, что они означают. При общих рассуждениях полезно иметь в виду какой-либо простой конкретный эксперимент типа общепонятного бросания монеты, игральной кости, извлечения карты из колоды и т.п.

     В этой схеме понятие “событие”  уже определяется. Событием назовем  любое утверждение, любой факт, справедливость или несправедливость которого можно  установить, зная какое элементарное событие произошло. Если утверждение оказалось справедливо, факт подтвердился, то будем говорить, что событие произошло. В W таким образом выделяется подмножество тех w ,  при которых данное событие А имеет место. Они называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А или составляющими событие А. Если мы знаем подмножество элементарных событий, благоприятствующих событию А, то, поставив опыт и посмотрев, какое элементарное событие w  произошло, мы сразу скажем, имело место или нет событие А: определить событие А равносильно заданию этого подмножества благоприятствующих А элементарных событий, и можно его обозначить той же буквой А.

     Отсюда  ясно, что можно заменить наше самодельное  домотканое определение события, кажущееся  излишне беллетристическим, на формально  математическое определение: будем называть событием любое подмножество в пространстве элементарных событий; если имеющее место в опыте элементарное событие wÎА, то будем говорить, что событие А произошло; если , то будем говорить, что А не произошло, (или, что то же самое: произошло не А). Теория вероятностей изучает события только в этом весьма узком смысле. Первоначально сформулированное определение показывает, что этот смысл все же достаточно широк. Теория вероятностей и стала математической наукой прежде всего тогда, когда она сузила и ограничила понятие “события”, понимая под ним лишь подмножество в пространстве исходов.

     Договоримся об обозначениях и определим операции над событиями.

     1. Достоверным событием называется  такое событие, которое происходит при любом исходе опыта. Ему благоприятствуют все элементарные события w , и его можно поэтому обозначить W.

     2. Невозможным событием называется  событие, которое не происходит  при любом исходе опыта. Множество  благоприятствующих ему элементарных событий пусто. Обозначим его Æ.

     3. Будем говорить, что два события  равны: A=B, если а) всякий раз, когда происходит А, происходит и В;  б) всякий раз, когда не происходит А, не происходит и В. Пункт б) можно, очевидно, заменить следующим: всякий раз, когда происходит В, происходит и А . Ясно, что А=ВÛВ=А .

Равные  события составлены из одних и  тех же элементарных событий.

     4. Назовем событие  противоположным событию А , если происходит, когда не происходит А, и наоборот, не происходит, когда происходит А. Логически - отрицание А, не А. Из определения следует, что событием, противоположным , является А:  . Если А=В, то .

     5. Суммой n событий назовем событие, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий , и которое не происходит, когда не происходят все эти события. Очевидно, ему благоприятствуют исходы любого из слагаемых. Название “сумма” естественно из-за того, что исходы всех событий складываются, объединяются вместе.

     6. Произведением n событий назовем событие, которое происходит, когда происходят все события , и которое не происходит, когда не происходит хотя бы одно из событий .  Событие составлено из тех исходов w ,  которые входят во все множители.

     Из  определения суммы и произведения непосредственно следуют формулы:  ,    ,

которые можно еще переписать, переходя к  противоположным событиям:

,  .

     Для двух событий:  . Эти формулы позволяют выразить сумму событий через произведение и наоборот.

     7. События А и В называются несовместимыми, если они в одном опыте оба произойти не могут: АВ=Æ. Несовместимые (или несовместные) события не имеют ни одного общего благоприятствующего исхода.

     8. События  образуют разбиение пространства W, если они попарно несовместимы, а одно из них при любом опыте происходит:

A_iA_j=Æ  для i¹j ,

.

     Разбиение называют также полной группой попарно несовместимых событий.  Пример разбиения: А и , т.к. А =Æ,  А+ =W .

В логике эти формулы соответствуют закону исключенного третьего.

     Разбиение пространства W можно осуществить с помощью двух произвольных событий А и В. Именно пространство W разлагается на сумму четырех попарно несовместимых событий и . Если АÌВ  или АВ=Æ, это разбиение вырождается в три слагаемых или даже в два, если АÌВ и или если АВ=Æ и . Вырождение может дойти и до одного слагаемого, если, например, А=W, В=Æ.

Рис. 1.

     9. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (здесь А стоит в именительном падеже, а В - в винительном), если всякий раз, когда происходит событие А, происходит и В. Любой исход, благоприятствующий А, благоприятствует и В: АÌВ, множество В включает в себя А (здесь В стоит в именительном, а А - в винительном падеже).

     10. Введенные действия с событиями  обладают свойствами, как напоминающими  свойства алгебраических действий  с числами, так и свойствами, непохожими на них. Например, если  А=В , то АС=ВС :  равенство не нарушается, если его умножить на любое событие; если А=В, то А+С=В+С :  равенство не нарушается, если к нему прибавить любое событие, но сокращать равенство на общий множитель или общее слагаемое нельзя. Выполняются для сложения и умножения переместительный, сочетательный и дистрибутивный законы:

АВ=ВА,  А+В=В+А,  А(В+С)=АВ+АС , (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).

     События можно возводить в целую положительную  степень, но Aⁿ=A ; среди чисел этим свойством обладают только 0 и 1.

     Специфичны  действия с достоверным и невозможным  событиями:

А+W=W ,  А+Æ=А ,  АÆ=Æ ,  АW=А .

     Соотношение АÌВ эквивалентно равенству АВ=А .

     Существенно, что, введя сложение и умножение, мы не определяем двух других алгебраических действий: вычитания и деления. Если вычитание мы не вводим за ненадобностью, поскольку его полностью заменяют уже введенные действия, то деление, кажется, еще никто не определял.

     Иногда  определяют A–B как A, которое не B. У нас оно заменяется равенством A–B=A .

     Задача. Еще одно свойство дистрибутивности, - слагаемых относительно сомножителей: A+BC=(A+B)(A+C). 

§ 2. Классическое определение вероятности. Основные формулы исчисления вероятностей.