Высшая математика

Задача 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

  Задача 2. Найти производную y´(x).

Задача 3. Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:

1. найти область определения функции;
2. определить, является ли функция четной или нечетной;
3. определить, является ли функция периодической;
4. найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;
5. найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках;
6. найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;
7. найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции;
8. найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.

Решение:

Найдем область определения функции:

Определим, является ли функция четной или нечетной.

Следовательно, функция общего вида.

Функция не является периодической.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения  с осями координат:

Ось Ox: , точки (-2; 0) и (2; 0).

С осью Oy пересечений нет.

Имеем два интервала знакопостоянства функции: и . На интервале функция положительна, а на интервале отрицательная.

Найдем точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках.

Найдем  пределы функции слева и справа от точки :

Следовательно, в точке  функция имеет разрыв второго рода.

Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

Наклонные асимптоты вида

Таким образом, наклонная асимптота .

Найдем интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции.

Вычисляем производную функции:

Критические точки: .

Функция возрастает на интервалах и , убывает на интервалах и . Функция имеет максимум при , и минимум при , .

Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба графика функции.

Вычислим  вторую производную:

Критические точки:

Функция выпукла вверх на интервале  , выпукла вниз на интервале .

Ниже  изображен график функции: