Элективный курс "Решение геометрических задач на построение в пространстве»

Выбор этой темы не случаен. Дело в том, что не так уж много задач на построение в пространстве можно найти в школьных учебниках 10-11 классов, а также эти задачи включаются в выпускные экзамены по математике и вступительные испытания в учебные заведения.

Основная цель данного курса – развитие логического и пространственного мышления.

Из неё вытекает ряд задач:

• обобщить, систематизировать, углубить знания учащихся по стереометрии;
• научить строить сечения многогранников по заданным условиям;
• расширить знания учащихся по математике с помощью формирования навыков системного, математического подхода к изучению естественно научных проблем;
• познакомить учащихся со способами и методами решения задач;
• развивать способности учащихся к графическому и техническому черчению.

Опыт показывает, что использование задач на построение в пространстве в преподавании математики только тогда может дать педагогический эффект и вызвать интерес у учащихся, если эти задачи удовлетворяют следующим требованиям:

• допускают краткую формулировку;
• использующиеся в них понятия известны учащимся, легко определяемы или интуитивно ясны;
• применение математического аппарата не требует существенной затраты времени;
• решение задач имеет важное практическое значение [12].

Не следует  рассматривать с учащимися такие  задачи, в которых описание «прикладной части» отнимает много времени, тогда как применение математического аппарата занимает всего несколько строк. Очевидно, что педагогическая ценность задачи на построение увеличивается, если её решение непосредственно связано с излагаемым материалом.

Также целью  элективного курса является приобщение учащихся к геометрической деятельности, в процессе которой учащиеся овладевают на доступном им уровне всеми компонентами этой деятельности – пространственным, конструктивным, метрическим, интуитивным, логическим, символическим. Достижение этой цели в процессе обучения решает следующие задачи:

• целостное развитие мышления учащихся, как наглядно-образного и практического, так и логического (в том числе креативного);
• развитие математического языка и речи учащихся;
• расширение кругозора (в том числе и за счёт привлечения исторических сведений);
• формирование готовности к применению геометрических знаний в смежных дисциплинах и на практике.

Элективный  курс «Решение геометрических задач  на построение в пространстве» предназначен для изучения в 10 классе общеобразовательной школы.

Курс направлен  на создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся  из них, а также собственных внутренних закономерностей.

Курс по выбору «Решение геометрических задач на построение в пространстве» поможет учащимся в решении широкого класса задач; в применении полученных знаний.

Данный элективный курс станет дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, а также понимания учащимися философского постулата о единстве мира и осознании положения об универсальности математических знаний.

Предпочтительны такие формы проведения занятий, как: лекции, практические работы, лабораторные работы, контрольные тесты, проектная и исследовательская деятельность, итоговая конференция с выставкой творческих работ учащихся.

Урок – лекция наиболее приемлемая форма изложения  нового материала, но с достаточным  количеством примеров, желательно, наглядных, а также самостоятельное изучение с последующим обсуждением на занятиях. Практические работы играют важную роль в реализации связи теории с практикой, при подготовке учащихся к практической деятельности. Под практическими работами по геометрии понимаются специальные учебные задания, решаемые конструктивными методами с применением непосредственных измерений, построений, изображений, геометрического моделирования и конструирования. Умения и навыки, приобретаемые в процессе выполнения практических работ, приближаются по своему характеру к умениям и навыкам, которые усваиваются учащимися после окончания школы и в дальнейшей деятельности. При выполнении учащимися практических работ в ограниченном единстве происходит совершенствование навыков измерения, построения, изображения, конструирования, приближённых вычислений, обогащается запас пространственных представлений. Кроме того, выполнение практических работ способствует развитию интуиции, закладывает основы для формирования у учащихся творческого стиля мышления. Поэтому система практических работ направлена на то, чтобы происходило комплексное усвоение учащимися всех компонентов геометрической деятельности. Тестовый контроль по основным темам программы проводится с применением персонального компьютера.

Программа элективного курса рассчитана на 14 часов в 10 классе.

Материал курса  распределён следующим образом: второе полугодие 10 класса – решение  стереометрических задач.

Курс состоит  из следующих тем: изображение плоскости  и задачи, связанные с аксиомами; перпендикулярность прямой и плоскости; параллельность прямых и плоскостей; двугранные углы и перпендикулярные плоскости.

Продолжительность одного занятия – 40 минут. Изучение элективного курса «Решение геометрических задач на построение в пространстве»  складывается из трёх частей: теоретической, практической, контроля знаний и умений учащихся.

Теоретическая часть элективного курса заключается  в изложении материала преподавателем по каждой изучаемой теме с приведением  примеров и сообщения учащимся дополнительных формул и теорем не входящих в программу средней школы. Практическая часть элективного курса – в применении учащимися полученных знаний при решении задач. После каждой темы проводится дифференцированная самостоятельная работа, в результате которой оцениваются знания и умения, учащихся по пятибалльной системе оценок. В конце полугодия проводят итоговую контрольную работу.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся.

Учащиеся должны знать:

• аксиомы стереометрии;
• формулы площадей геометрических фигур;
• определения геометрических фигур.

Учащиеся должны уметь:

• по условию задачи грамотно строить чертеж;
• проводить переформулировку задачи с практического языка на язык геометрии;
• применять теоретические знания на практике.

Тематическое  планирование элективного курса

Таблица 2.

№	Содержание  учебного материала	Кол-во часов
1	Изображение плоскости  и задачи, связанные с аксиомами  стереометрии	3
2	Перпендикулярность  прямой и плоскости	3
3	Параллельность  прямых и плоскостей	3
4	Двугранные  углы и перпендикулярные плоскости	3
5	Итоговая контрольная  работа	2

 

§4. Задачи для  элективного курса

 

Рассмотрим  примеры некоторых тематических задач, которые можно использовать в данном курсе.

Тема №1. Изображение плоскости и задачи, связанные с аксиомами стереометрии

Задача 1. На горизонтальной плоскости Р даны точка а и b, а на вертикальной Q точка с. Найти линии пересечения этих плоскостей с плоскостью R, проходящей через точка а, b, с (рис. 1).

Решение. Плоскости Р и R пересекутся по прямой аb, которая пересечёт MN в точке d. Последняя, находясь в плоскости R, принадлежит и плоскости Q. Поэтому Q и R пересекутся по прямой cd.

Задача 2. Даны три пересекающиеся плоскости: горизонтальная Р, вертикальная Q и профильная R. Определить линии пересечения этих плоскостей с четвертой плоскостью М, заданной тремя точками, из которых две (а и b) лежат в горизонтальной плоскости Р, а третья с – в вертикальной Q.

Решение (рис. 2). Находим линии пересечения плоскости М с плоскостями Q и Р, как в предыдущем случае (ad и cd). Они пересекут прямые OY и OZ в точках f и l. Прямая lf – линия пересечения плоскостей М и R.

 

 

Тема №2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Задача 3. Найти след пересечения прямой, заданной двумя точками А и В и их проекциями А и В на горизонтальную плоскость Р, с этой плоскостью (рис. 3).

Решение. Через прямые АА₁ и BB₁ проведём плоскость Q. Последняя пересечет плоскость Р по прямой A₁B₁. Прямые АВ и A₁B₁ лежат в плоскости Q и пересекутся в некоторой точке С, если АВ не параллельна А₁В₁, точка С – искомая. Если АВ || А₁В₁, то задача не имеет решения.

Задача 4. Найти след пересечения горизонтальной плоскости Р с плоскостью Q, заданной тремя точками А, В и С и их проекциями А₁ В₁ и С₁ на плоскость Р (рис. 4).

Решение. Найдем следы D и Е пересечения прямых АВ и АС с плоскостью Р. Прямая DE – искомый след пересечения плоскостей Р и Q.

Задача 5. На боковых ребрах SA и SB треугольной пирамиды SABC даны точки D и Е. Найти точку пересечения прямой DE с плоскостью основания пирамиды (рис. 5).

Решение. Продолжаем АВ до пересечения с прямой DE в точке F. Точка F – искомая. Если DE||AB, то задача не имеет решения.

Тема №3. Параллельность прямых и плоскостей

Задача 6. Проекция прямой на плоскость есть прямая. Доказать (рис. 6).

Решение. Построим проекции А₁ и B₁ двух произвольных точек А и В прямой на плоскость P. Через прямые AA₁ и BB₁ проводим плоскость O (АА₁ || ВВ₁). Плоскость Q пересекает плоскость Р по прямой А₁B₁ и содержит прямую АВ. Возьмём на AB произвольную точку С и проведём через неё прямую параллельную AA₁. Она лежит в плоскости Q, так как в противном случае она пересекла бы плоскость Q и была бы по отношению к прямой AA₁ скрещивающейся. Поэтому она пересечёт прямую A₁B₁ в некоторой точке C₁. Таким образом, если проектирующая параллельна AA₁, то любая точка С прямой AB проектируется на прямую А₁В₁.

Задача 7. Если прямые АВ и CD параллельны. Доказать, что и их проекции А₁В₁ и C₁D₁ тоже параллельны. (рис. 7).

Решение. Проведём проектирующие плоскости Q и R. Так как Q||R, то линии их пересечения A₁B₁ и C₁D₁ с плоскостью проекций Р также параллельны.

Задача 8. Точка К дана на боковой грани SAB треугольной пирамиды SABC с высотой SO. Построить проекцию этой точки на основание пирамиды (рис. 8).

Решение. Проводим через точку К наклонную SD и её проекцию OD. Проекцию К₁ точки К найдем на отрезке OD, проведя проектирующую KK₁ || SO.

Задача 9. Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью Q, проходящей через диагональ BD₁ и середину бокового ребра СС₁. Определить вид и площадь сечения, зная, что ребро куба равно а (рис. 9).

Решение. Плоскость Q пересечёт боковые грани куба ВВ₁С₁С и CC₁D₁D по прямым BN и ND₁, грань AA₁B₁B – по прямой MB || ND₁ и грань AA₁D₁D по прямой MD₁. Сечение MBND₁ – ромб. Для вычисления его площади вычисляем диагонали MN = A₁C₁ = a и BD₁ = = а (из ∆ВВ₁D₁), площадь сечения: .

Задача 10. Куб пересечь плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Вычислить площадь сечения, если ребро куба равно а.

Решение. В диагональной плоскости АА₁С₁С соединим точки L и С прямой LC, которая пересечёт ось ОО₁ в точке К. Искомая плоскость пересечет диагональную плоскость BB_lD_lD по прямой MN || EF (так как EF || плоскости ВВ₁D₁D), а боковые грани куба – по прямым ЕМ, МС, CN, NF. Сечение – пятиугольник EMCNF. Площадь определим как сумму площадей трапеции EFNM и треугольника MCN (рис. 10). Высота трапеции определяется из ∆LK0₁ (принять во внимание, что КO₁ = ), высота треугольника MNC есть КС = 2LK.

Ответ:

Тема №4. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости

Задача 11. Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середины двух смежных боковых рёбер перпендикулярно основанию. Вычислить площадь сечения, если сторона основания пирамиды а, а боковое ребро – b (рис. 11).

Решение. Проектируем середины ребер Е и F на основание пирамиды. Проектирующие ЕК и FL определяют положение искомой плоскости. Она пересечёт грань SCD по прямой EF, основание пирамиды по прямой МN, проходящей через точки К и L, а грани BSC и ASD по прямым FN и ЕМ. Элементы, необходимые для вычисления площади легко определяются.