Электростатика

                                      

Теорема Гаусса для электростатического  поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять  единичный точечный положительный  заряд, то элементарная работа сил поля на пути равна , где – проекция вектора на направление элементарного перемещения. Тогда можно записать

                                                    .

Интеграл  называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

 

Рассмотрим применение теоремы  Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме:

1. Поле равномерно заряженной  бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость  заряжена с  постоянной поверхностной плотностью ( – заряд приходящийся на единицу поверхности).

        

 

 

                                              S

                                   

                                                                     

 

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса , , откуда

                                             

2.Поле   двух   бесконечных   параллельных разноименно заряженных  плоскостей

Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными  зарядами  с поверхностными   плотностями и .

 

                                                      

 

 

                              

 

 

 

 

                                                 

Поле таких плоскостей найдем как  суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке  верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей  поля  вычитаются   (линии   напряженности

направлены   навстречу   друг   другу),   поэтому здесь   напряженность   поля  E = 0.   В   области между   плоскостями   результирующая напряженность .

Таким образом, результирующая напряженность  поля в области между плоскостями  описывается формулой , а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3.Поле равномерно заряженной  сферической поверхности.

 Сферическая поверхность радиуса  R с общим зарядом Q заряжена  равномерно с поверхностной плотностью  .

 

 

 

 

     

                                                                                    

                                                                                 

                                                                   

                                                                   

 

 

                                                                       

 

Благодаря равномерному распределению  заряда по поверхности поле, создаваемое  им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности  направлены радиально. Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса откуда

                                             ( ).

При r>R поле убывает с расстоянием  r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен ниже.

                   

                      

 

 

 

 

 

                                                         

 

 

                                                                    

                                                          

                                               

                                              

 Если r' < R, тo замкнутая поверхность  не содержит внутри зарядов,  поэтому внутри равномерно заряженной  сферической поверхности электростатическое  поле отсутствует (Е = 0).

4.  Поле объемно заряженного  шара.

   Напряженность поля вне  равномерно заряженного шара описывается формулой :

                                            ( ),

 а внутри его  изменяется линейно с расстоянием  согласно выражению     ( ).

График зависимости  Е от r приведен ниже.

 

                        

 

 

 

 

 

                                                 

 

 

                                                                 

                                                           

 

 

 

 

§5.Работа перемещения заряда в электростатическом поле.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд  , то сила, приложенная к заряду, совершает работу.

                                                                             

 

                                                                                           2

                                                  1                 

                                                                            

                                                                   

                                                                  

 

                                                                      

 

 

 

                                                           

                                                                     

 Работа силы  на элементарном перемещении dl равна                                                                    

                         .

 

Так как  , то .

Работа   при   перемещении   заряда     из точки 1 в точку 2

                  

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями  начальной 1 и конечной 2 точек.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

                                                      .

  Силовое поле, обладающее свойством

                                                      ,

называется потенциальным. Из обращения  в нуль циркуляции вектора  следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах или же уходят в бесконечность.

Формула               

                                              

 справедлива только для электростатического  поля.

 

§5. Потенциал электростатического  поля и его связь с напряженностью

Тело, находящееся в электростатическом поле обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается  работа. Работу сил электростатического  поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд  в начальной и конечной точках поля заряда Q:

                               ,

 

откуда следует, что потенциальная  энергия заряда в поле заряда Q равна

                                            .

 

Работа определяется с точностью  до произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность ( ) потенциальная энергия обращается в нуль (U = 0), то С = 0 и потенциальная энергия заряда , находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

                                               .

Для одноименных зарядов  и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности.

Потенциальная энергия U заряда , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий , создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

                                            .

Вытекает, что отношение U/ не зависит от и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом:

                                            

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q, равен

                                         .

Работа, совершаемая силами электростатического  поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

                                   ,

  Разность потенциалов двух  точек 1 и 2 в электростатическом  поле определяется работой, совершаемой  силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

                                  ,

                                  ,

                                         ,

 

                                         .

 

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.

Единица потенциала – вольт (В): 1 В  есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В=1 Дж/Кл).

   Работа по перемещению  единичного точечного положительного  заряда из одной точки в  другую вдоль оси х при условии,  что точки расположены бесконечно  близко друг к другу и  , равна . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

                                                        ,

где символ частной производной  подчеркивает, что дифференцирование  производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :

                                               ,

где , , – единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

                                              , или

т. е. напряженность  поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.