Анализ и прогнозирование структуры ВВП

 

     Построим  линейную модель методом наименьших квадратов. В таблице  6  приведем промежуточные вычисления и  результаты использования линейной модели. В нижней строке запишем суммы значений в столбцах.

     Исходя  из первых двух столбцов получим: 

Y_cp= 161661/17 = 9509,47059 ;  t_cp= 153/17=9

     Остальные вычисления приведем в столбцах (3-6).

Вычислим значения коэффициентов линейной модели:

1772,826 

161661 - 1772,826*9 = 145705,6

     Таким образом, линейная модель имеет вид:     

145705,6+1772,826*t

     Построим  точечный прогноз на k-шагов вперед путем подстановки в модель параметра t = N+1, ..., N+k.

     При прогнозировании на два шага имеет: k=2.

     Y_p(18)= 145705,6+1772,826*18 = 177616

     Y_p(19)= 145705,6+1772,826*19 = 179389

     Доверительный интервал прогноза будем иметь следующие  границы:

     

     Величина  U(k) для линейной модели имеет вид:

     

Если в качестве линии тренда используется уравнение  прямой, то

                                 = 579929,2663

     Коэффициент К_р является табличным значением t-статистики Стьюдента    t_табл(α=0,1; k=17-2=15)= 2,947.  Тогда рассчитаем для двух шагов величины U(k):

U₁= 579929,2663*2,947) = 1,121318*1709052 =1916389

U₂= 579929,2663*2,947) =1951555 

     Расчеты прогнозных оценок сведем в таблицу 7.

Таблица 7

Расчеты прогнозных оценок

 

Отразим на графике результаты расчетов линейной модели (рис. 3)

Рис.3. Линейная модель тренда

Задание 6

Таблица 8

Расчётные данные для проверки адекватности линейной модели и 

проверки  независимость уровней ряда остатков

 

     Оценим  адекватность линейной модели на основе исследования остаточной компоненты на основе критерия повторных точек (критерия пиков). Необходимые данные возьмем из таблицы  7  (столбец 8). Расчетные данные поместим в таблицу 8. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек (критерия пиков). В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то  эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек "Р". В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

     Р>[2(N-2)/3-2]

     При N=17 в правой части неравенства будем иметь:

     Р>[2(17-2)/3-2] = [2,77] = 2

     Таким образом, число  поворотных точек  должно быть больше восьми. В таблице 8 в четвертом столбце для первого и последнего наблюдения проставим прочерки, ноль - если точка неповоротная, и единицу, если точка поворотная. В нашем случае количество поворотных точек Р=3>2. Неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

     Независимость уровней ряда остатков проведем по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d₁ = 0,697 и d₂ = 1,641). Расчет коэффициента d проведем в таблице 2.

     

                                           = 0,4248 
 
 

     Вычисленная величина d сравнивается с двумя табличными. Если d находится в интервале от нуля до d1, то уровни ряда остатков сильно автокоррелированы, а модель неадекватна. Если значение d попадает в интервал от d2 до 2, то уровни ряда являются независимыми. В том случае, если  d>2  имеет место отрицательная автокорреляция и необходимо выполнить пересчет по формуле

     

     и в дальнейшем сравнивать с табличными пересчитанное значение d’.  В нашем случае  0<d< d₁, что свидетельствует о том, что уровни  ряда остатков сильно автокоррелированы, а модель неадекватна.  Нормальность распределения остаточной компоненты проверим по RS критерию:

     

     где   Е_max - максимальный уровень ряда остатков; 

     Е_min - минимальный уровень ряда остатков; 

     S_{e -} среднее квадратическое отклонение.

     Если  расчетное значение RS-критерия попадает между критическими значениями с  заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N=17  и 5%-ного уровня значимости этот интервал равен (2,7—3,7). В нашем случае 

Е_мах=  -3384,4706          Е_мин= -140307,22

  = 136044,3251

откуда RS =(-3384,4706+140307,22)/ 136044,3251 = 1,006456898

     Таким образом, расчетное значение не попадает в интервал. Следовательно, остаточная компонента не распределена  по  нормальному закону распределения. Оценим точность линейной модели по среднему квадратическому отклонению и по средней по модулю ошибки:

     

         1/17 *1347,967364=79,29219791 

     Модели  со средней относительной ошибкой  менее 5% считаются 

хорошими,  до 15%  -  приемлемыми,  поэтому в нашем случае величина

отн E=79,29% свидетельствует о достаточно  хорошем уровне точности

модели.

Задание 8

       Для проведения  качественного   анализа  взаимосвязей данных  о ВВП в рыночных ценах и   оплате труда наемным работникам,  и определения вида  связи построим  диаграмму  разброса или  рассеивания данных (См.рис. 4).

     

     Как видно из рисунка, большинство точек  на диаграмме рассеивания расположены по возрастающей диаграммы рассеивания, эти точки вносят положительный вклад в ковариацию и поэтому результирующее ее значение будет так же положительным. Поэтому можно выдвинуть гипотезу о наличии устойчивой парной прямой корреляционной связи между такими показателями как  ВВП в рыночных ценах и  оплата труда наемным работникам. 

     Задание 9

       Рассчитаем выборочный коэффициент  корреляции между признаками  ВВП в рыночных ценах и  оплата труда наемным работникам по формуле:

     

     Исходные  и расчетные данные представим в  таблице 9.

     

             0,987 

     Полученное  значение коэффициента корреляции подтверждает выдвинутую гипотезу о наличии прямой достаточно сильной связи между изучаемыми показателями (коэффициент корреляции положителен  –  связь прямая, близок к 1 – связь достаточно сильная). Оценить его значимость по критерию t–Стьюдента. Для этого вычислим расчетное значение критерию t–Стьюдента по формуле: 

     

              23,7844

     Определяем табличное значение коэффициента Стьюдента t_табл(α=0,05, k=n-2=17-2=15)= 1,753. Так как t_p>t_tabl, то коэффициент корреляции значим на уровне значимости.

     Таблица 9

     Расчет  коэффициента корреляции