Система автоматического управления

     Наблюдатели применяются также в системах управления состоянием, в которых не все переменные состояния могут быть измерены или результаты измерения содержат значительные помехи.

     Математическая  модель (уравнение) объекта управления может содержать коэффициенты q_j - массо-инерционные, электрические, термодинамические и пр. параметры управляемого процесса и других используемых в САУ устройств. В тех случаях, когда значения параметров изменяются во времени или заранее неизвестны, появляется необходимость в использовании идентификаторов параметров.

     Идентификатором называется блок (алгоритм) вида q(t)= Q(у(t), u(t), …), где Q(*) - динамический оператор, предназначенный для оценивания параметров ОУ по имеющейся информации о текущем состоянии у(t) и входном воздействии u(t) объекта, т. е. для расчета в реальном времени значений q(t). Идентификаторы применяются в адаптивных системах управления, в которых параметры регулятора не устанавливаются заранее, а настраиваются в процессе работы. В таких системах часто используются адаптивные алгоритмы управления вида u(t) = U(e(t), у*(t), q(t),...), а вектор оценки q(t) может быть получен с помощью алгоритма идентификации.

3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ [1, 8].

     Математической  моделью динамической системы принято  называть совокупность аналитических выражений и алгоритмов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов - линейные и нелинейные, временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является время (непрерывное или дискретное). Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала.

     Аналитические модели вход-выход (ВВ) - это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы, которое применяется как для отдельных блоков, так и всей системы управления в целом. Для обозначения входных и выходных сигналов воспользуемся обозначениями, характерными для объекта управления, где входным сигналом является управляющее воздействие u(t), а выходным регулируемая переменная y(t). В этом разделе рассматриваются непрерывные временные модели, описывающие связи входных и выходных переменных динамической системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующего порядка.

     Система линейных уравнений  объекта. В общем случае модель одноканального объекта управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением (системой уравнений), связывающим входной сигнал управления u(t) и выходной сигнал состояния объекта y(t):

F(y', y", …, y⁽ⁿ⁾, u', u", …, u^(m)) = 0.                                      (3.2.1)

     Уравнение описывает динамическое состояние  ОУ на некотором временном интервале t≥t_o, и связывает входные сигналы u(t) и их производные u⁽ⁿ⁾(t) с выходными сигналами y(t) и их производными y⁽ⁿ⁾(t). Значения у(t_o) = у_о, у'(t_o) = у'_о, ... , y⁽ⁿ⁾(t_o) = у⁽ⁿ⁾_о называются начальными значениями (условиями), а число г = n-m ≥ 1- относительной степенью модели.

     Классом дифференциальных уравнений, удобным для проведения исследований, являются линейные дифференциальные уравнения. Переход к линейным дифференциальным уравнениям выполняется операцией линеаризации, при которой переменные уравнения (3.2.1) заменяются новыми переменными – отклонениями от некоторого номинального режима (y=y-y_н, u= u-u_н), начало координат переносится в точку номинального режима, а функция F раскладывается в ряд Тейлора в окрестностях этой точки по частным производным. В результате линеаризации получаем следующую систему линейных уравнений в отклонениях:

A₀(t)y⁽ⁿ⁾ + A₁(t)y^(n-1) +…+ A_n(t)y = B₀(t)u^(m) + В₁(t)y^(m-1) +…+ B_m(t)u.         (3.2.2)        

     Порядок системы уравнений равен n по порядку производной y⁽ⁿ⁾(t), n ≥ m, так как при n < m системы технически нереализуемы. Так как все частные производные представляют собой либо постоянные матрицы, либо матрицы, зависящие только от времени, то полученное уравнение есть либо система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (A_j(t) = a_j = const, B_j(t) = b_j = const), либо система с переменными коэффициентами, в зависимости от номинальной траектории.

     В случае постоянных коэффициентов система  называется стационарной. Как правило, входные и выходные величины объекта - скалярные функции, при этом уравнение (3.2.2) принимает вид:

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny = b₀u^(m) + b₁y^(m-1) +…+ b_mu.               (3.2.3)        

где a_j, b_j – постоянные коэффициенты (параметры) модели, a₀ > 0, b₀ > 0, n - порядок модели, 0 ≤ m < n. Решение уравнений таких стационарных объектов относительно y(t) является главным объектом исследований в классической теории автоматического управления.

     Система, для которой u(t)≡ 0, называется автономной. Описание автономной системы дается однородным дифференциальным уравнением вида

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny = 0.                                        (3.2.3')        

     Передаточная функция системы. Основной метод исследования линейных систем с постоянными коэффициентами - преобразование Лапласа. При нулевых начальных условиях, после преобразования Лапласа уравнения вида (3.2.3), получаем:

L[a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +…+ a_ny] = L[b₀u^(m) + b₁y^(m-1) +…+ b_mu].

(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n)Y(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m)U(p).            (3.2.4)

Y(p) = L[y(t)] =

exp(-pt) y(t) dt,

U(p) = L[u(t)] =

exp(-pt) u(t) dt.

     Для линейного уравнения преобразование Лапласа отношения выходного сигнала Y(p) к входному сигналу U(p) при нулевых начальных условиях не зависит от самих сигналов и называется передаточной функцией системы W(p).

Y(p) = U(p) (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n),

W(p) = (b₀p^(m) + b₁p^(m-1) +…+ b_m) /(a₀p⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) +…+ a_n),                (3.2.5)

Y(p) = W(p) U(p).

     Передаточная  функция W(p) зависит только от самих  дифференциальных уравнений и обладает свойством линейности:

     Если Y(p) = Y₁(p) + Y₂(p), то U(p) = W(p)Y₁(p) + W(p)Y₂(p) = U₁(p)+U₂(p).

     Если Y(p) = сY(p), то U(p) = W(p) Y(p) = с W(p) Y(p).

     В общем случае замкнутая система регулирования с обратной связью рассматривается в структурной форме, приведенной на рис. 3.2.1, где используются следующие обозначения сигналов:

Y(p) = W(p)e(p);  W(p) = W₁(p)W₂(p);

Y_ос(p) = W_ос(p)Y(p);  e(p)=U(p)-Y_oc(p).

     

Рис. 3.2.1.

     Выражение выходного сигнала состояния  системы через входной сигнал управления:

Y(p)=W(p)(U(p)-W_ос(p)Y(p);

Y(p)(1± W(p)W_ос(p))=W(p)U(p).

     Отсюда  главная передаточная функция замкнутой системы:

W_зс(p) = Y(p)/U(p) = W(p)/[1 ± W(p) W_oc(p)].

     Знак  плюс или минус определяется типом обратной связи (отрицательная или положительная). Соответственно, выходной сигнал с учетом сигнала дестабилизирующего воздействия f(t), который суммируется с правой частью выражения (3.2.3):

Y(p)=W_зс(p)U(p) + W_f(p)f(p),

где W_f(p) – передаточная функция по возмущению. В замкнутой системе передаточная функция по возмущению определяется как отношение выходной величины, преобразованной по Лапласу, к функции возмущающего воздействия, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях. Возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.

W_f(p) = Y(p)/f(p) = W₂(p)/[1+W_oc(p)W(p)].

     Передаточная  функция по ошибке:

W_e(p) = e(p)/U(p) = 1/[1 + W(p) W_oc(p)].

     Передаточная функция по ошибке - основное средство исследования точности САУ. C учетом возмущающего воздействия:

e(p)=W_e(p)U(p) + W_ef(p)f(p),

где W_ef(p) - передаточная функция по ошибке и возмущению (от возмущения к ошибке):

W_ef(p) = e(p)/f(p) = -W₂(p)W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

     Передаточная  функция по обратной связи:

W_Yoc(p) = Y_oc(p)/U(p) = W(p) W_oc(p)/[1 + W(p) W_oc(p)].

     Типовые звенья САУ. Полиномы числителя и знаменателя передаточной функции (3.2.5) можно разложить на простейшие множители по их корням:

W(p) = N(p)/P(p) = m [(p-p₁^ч)…(p-p_m^ч)] / [(p-p₁^з)…(p-p_n^з)],             (3.2.6)

где μ = b₀ /a₀ – константа, p_i^ч – множество корней числителя N(p)=0, p_i^з – множество корней знаменателя P(p)=0. Корни числителя передаточной функции называют нулями, корни знаменателя – полюсами. Комплексно сопряженные корни объединяются в квадратурные полиномы с вещественными коэффициентами: (p-α+jβ)(p-α-jβ) = p²-2αp+β²+α².

     После такого представления в числителе  и знаменателе будет некоторое  количество скобок первого и второго порядка с вещественными числовыми коэффициентами, каждую из которых можно рассматривать, как элементарную передаточную функцию, практически реализуемую в силу вещественности коэффициентов. Если вынести из всех скобок свободные члены и объединить их произведение в общий множитель К, то получим уравнение: