Система автоматического управления

A(w) = U_m /Y_m = |W(jw)| =

,

j(w) = arctg(Q(w)/P(w)).

     

Рис. 3.4.1.

     Годограф, приведенный на рис. 3.4.1, является стандартным методом отображения АФЧХ на комплексной плоскости с координатами ReW(ω) и ImW(ω). Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до ∞. Для произвольной частоты ω радиус вектор в точке W(jω) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол j(ω) - сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда W(jω) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и фазового сдвига, также зависящего от частоты. Комплексно сопряженные ветви АФЧХ, отличающиеся знаком j, зеркальны относительно вещественной оси.

     Для частотного анализа систем применяется  также раздельное построение графиков АЧХ и ФЧХ, если в том появляется необходимость.

     Логарифмические частотные характеристики. В практике автоматики широкое применение находят частотные характеристики в логарифмических масштабах. Применение логарифмического масштаба позволяет наглядно изображать характеристики в большом диапазоне частот, представлять характеристики отрезками ломанных линии и определять характеристики сложных систем простым суммированием характеристик, входящих в эти системы элементов.

     Частота в логарифмическом масштабе измеряется в декадах. Две частоты w₁ и w₂ отличаются на одну декаду если w₂/w₁ = 10, lg(w₂/w₁) = 1. Относительные амплитуды в логарифмическом масштабе выражаются в децибелах. Две мощности w₁ и w₂ отличаются на один децибел, если 10 lg(w₁/w₂) = 1.  Так как мощности относятся как квадраты образующих их первообразных (напряжений, токов, сил и т.д.), то две первообразные a₁ и а₂ будут отличаться на один децибел, если 10 lg(а₁² /а₂²) = 1 ® 20 lg(а₁/а₂) = 1. 

     В CАУ широко используются логарифмические амплитудная (ЛАЧХ) и фазовая (ЛФЧХ) частотные характеристики (рис. 3.4.2). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

lg[W(jw)] = lg[A(w) exp(jj(w)] = lg[A(w)]+lg[exp(jj(w)] = L(w) + j(w).

     ЛАЧХ  получают из первого слагаемого, которое умножается на 20, то есть L(w)=20 lg A(w). Величина L(w) откладывается по оси ординат в децибелах. Изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20 дБ. По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе, единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз.

     

Рис. 3.4.2.

     ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом  по оси w. Величина j(w) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: -p ≤ j ≤ p.

     Частотные характеристики являются исчерпывающими характеристиками системы, по которым можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

3.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ [1, 7, 8, 9].

     Элементарными звеньями называются простейшие составные части (блоки) системы, поведение которых описывается алгебраическими уравнениями или дифференциальными уравнениями (1-2)-го порядков:

a₀ y"(t) + a₁ y'(t) + a₂ y(t) = b₀ u'(t) + b₁ u(t).                                 (3.5.1)

     Передаточная функция элементарного звена имеет вид:

W(p) = (b₀ u'(t) + b₁ u(t)) / (a₀ y"(t) + a₁ y'(t) + a₂ y(t)).                         (3.5.2)

     Безинерционное (пропорциональное, усилительное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением:

y(t) = k u(t).

     Безинерционное  звено передаст сигнал без искажения  по форме и сдвига во времени, но измененный по амплитуде в k раз. Реальные звенья могут быть отнесены к данному типу условно, так как всегда обладают инерционностью. Однако если переходный процесс в элементах звена протекает за время, малое по сравнению со временем переходного процесса системы в целом, то эти элементы могут считаться безинерционными. 

     

Рис. 3.5.1.

     Динамический  параметр  k  называют коэффициентом усиления. Переходная  характеристика повторяет  ступенчатое входное воздействие 1(t), измененное (увеличенное или уменьшенное) в k раз (рис. 3.5.1):

H(t) = k

1(t). 

     При k = 1 звено передает входной сигнал на выход, а при k = -1 инвертирует входной сигнал. Передаточная функция звена равна коэффициенту пропорциональности:

W(p) = k.

      Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k:

h(t) = k d(t).

     

Рис. 3.5.2.

     Амплитудно-фазо-частотная характеристика АФЧХ: W(jw) = k. АЧХ: A(w) = k.   ФЧХ: j(w) = 0.   ЛАЧХ: L(w) = 20 lg k.

     Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз  и без сдвига по фазе (рис. 3.5.2).

     Некоторые реальные звенья могут рассматриваться как безинерционные с определенной точностью (жесткий механический рычаг, механический редуктор, потенциометр, широкополосный электронный усилитель и т.п.). Многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и пр.) также обычно рассматриваются как безынерционные.

     Апериодическое  инерционное звено  первого порядка описывается дифференциальным уравнением: T dy/dt + y(t) = k u(t). Передаточная функция звена:  W(p) = k/(Tp+1).

     Динамические свойства определяются значениями двух величин, k и Т. Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи (усиления) звена. Переходная функция:

H(p) = W(p) 1(p) = k/[p(Tp+1)].

      При обратном преобразовании Лапласа функции  Н(р) по формуле вычетов:

H(t) = k (1-exp(-t/T)

     

Рис. 3.5.3.

     Переходный процесс инерционного звена экспоненциальный - типичный для систем первого порядка (рис. 3.5.3). Выходная величина звена в переходном режиме со скоростью, определяемой величиной Т, следует за изменением входной величины (свойство инерционности). Сигнал на выходе звена нарастает по экспоненте, поэтому звено называют апериодическим. При t→∞ сигнал стремится к значению k.

     Весовая функция находится дифференцированием переходной характеристики:

h(t) = (k/T) exp(-t/T) 1(t).

      Множитель 1(t) определяет существование функции  при t≥0 и обычно опускается (подразумевается по умолчанию).

     По  переходной характеристике можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению H(t), и постоянную времени Т по точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. Касательная при t=0 равна k/T, а при t=T значение H(t) = 0.63k. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. Практически обычно принимают, что переходной процесс заканчивается при t порядка 3T, что соответствует 95% установившегося значения. Импульсная функция h(t) также имеет касательную k/T при t=0, которая пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т. Характерен скачок функции в начальный момент времени, возникающий из-за наличия на входе d-функции. Так как идеального скачка быть не может, то будет наблюдаться процесс, обозначенный на рис. 3.5.3 пунктиром.

     

Рис. 3.5.4.

     АФЧХ инерционного звена (рис. 3.5.4):

W(jw) = k/(Tjw +1) = k(Tjw-1) /[(Tjw+1)(Tjw-1)] =

= k [1/( T²w² +1) - jTw/( T²w² +1)] =

= k exp(-j arctg Tw) /

.

     Годограф  описывает полуокружность с наинизшей  точкой на частоте w=1/Т, при этом фазовый сдвиг равен -p/4, a коэффициент усиления АЧХ равен 0.707k. При изменении частоты от 0 до ∞ радиус-вектор АЧХ монотонно убывает от значения k до 0. Полная АФЧХ для положительных и отрицательных частот представляет собой окружность.

     

Рис. 3.5.5.

     Пример  реализации звена RC-цепочкой приведен на рис. 3.5.5. Комплексное уравнение выходного напряжения звена в радиотехнике, определяемое законом Ома, записывается в форме:

U_вых(w) = [U_вх(jw)/(R+1/jwC)](1/jwC) = U_вх(jw)/(jwRC+1).

W(w) = U_вых(jw)/U_вх(jw) = 1/(jwRC+1).

W(w) = k/(Tp+1), где p=jw, T=RC,  k=1.

     

     Рис. 3.5.6

     На  рис. 3.5.6 приведены комплексные АЧХ и ФЧХ приведенного RC-звена при Т=RC=1 и k=1 на частоте (в радианах) от -10 до 10. Как следует из этого рисунка, звено передает на выход, в основном, только низкие частоты входного сигнала (от -1/RC до 1/RC по уровню 0.707) с нарастающим подавлением высоких частот и увеличением их сдвига по фазе по мере роста частоты. Чем меньше инерционность звена (меньше Т=RC), тем больше амплитудная характеристика по своим значимым значениям вытянута по оси частот (шире полоса пропускания).