Античная наука

Дошедший до нас текст  «Начал» состоит из пятнадцати книг, причем две последние были написаны не Евклидом, а добавлены позднее. Кратко резюмируем содержание каждой из них.

Первые четыре книги «Начал»  посвящены геометрии на плоскости  — в них представлен тот  же материал, который, предположительно, уже содержался в книге Гиппократа Хиосского. Из этого, однако, не следует, что в своем изложении Евклид просто повторял Гиппократа. В особенности  это относится к I книге, начинающейся с определений, постулатов и аксиом. В числе постулатов имеется знаменитый (пятый) постулат о параллельных линиях, попытки изменения которого привели  впоследствии к созданию неевклидовых геометрий. После этого идут теоремы, устанавливающие важнейшие свойства треугольников, параллелограммов, трапеций. В конце книги приводится теорема  Пифагора.

Во II книге излагаются основы геометрической алгебры. Произведение двух величин трактуется в ней  как прямоугольник, построенный  на двух отрезках. Устанавливается  дистрибутивность умножения по отношению  к сложению (т. е. если а = a₁ + а₂ + а₃, то ba = bа₁ + bа₂ + bа₃). Доказывается ряд важных тождеств, например, (a + b )² = a² + 2ab + b² 
Дается геометрическая формулировка нескольких типов задач, эквивалентных задачам на квадратные уравнения.

III книга посвящена свойствам  круга, его касательных и корд. Наконец, в IV книге рассматриваются  правильные многоугольники. Строятся  правильные ге-уголышки при n = 3, 4, 5, 10, 15, причем построение правильного 15-угольника принадлежит, по-видимому, самому Евклиду.

V и VI книги «Начал»  отражают вклад Евдокса в теорию  отношений и ее применения  к решению алгебраических задач.  Особой законченностью отличается V книга, посвященная общей теории отношений, охватывающей как рациональные, так и иррациональные величины (о чем мы уже говорили в третьей главе, в разделе, посвященном Евдоксу).

VII, VIII и IX книги посвящены  арифметике, т. е. теории целых  и рациональных чисел, разработанной,  как указывалось выше, пифагорейцами  не позднее V в. до н. э.  Помимо теорем, относящихся к  сложению и умножению целых  чисел и умножению их отношений,  здесь рассматриваются вопросы  теории чисел: вводится «алгоритм  Евклида», излагаются основы теории  делимости целых чисел, доказывается  теорема о том, что существует  бесконечное множество простых  чисел. Эти три книги написаны, по-видимому, на основе не дошедших  до нас сочинений Архита.

X книга, содержащая изложение  результатов, полученных Теэтетом, посвящена квадратичным иррационально-стям. Дается их классификация (биномиали,  апотомы, медиали и т. д.).

В XI книге рассматриваются  основы стереометрии; здесь содержатся теоремы о прямых и плоскостях в пространстве, трехмерные задачи на построение и т. д.

В XII книге излагается метод  исчерпывания Евдокса, с помощью  которого доказываются теоремы, относящиеся  к площади круга и к объему шара, а также выводятся соотношения  объемов пирамид и конусов  с объемами соответствующих призм  и цилиндров.

Основные результаты XIII книги, посвященной пяти правильным многогранникам, принадлежат Теэтету.

Позднее к «Началам» были присоединены XIV и XV книги, не принадлежавшие Евклиду, а написанные позже —  одна во II в. до н. э, а другая в VI в. н. э. Об их содержании будет сказано  ниже.

При всем богатстве материала, включенного в «Начала» Евклида, это сочинение отнюдь не было всеохватывающей  энциклопедией античной математики. Так, в него не вошли теоремы о  «луночках» Гиппократа Хиосского, а  также три знаменитых задачи древности  — об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга, о которых  мы говорили во второй главе. Мы не находим  в нем также ни единого упоминания конических сечений, теория которых  в это время уже начала разрабатываться (в том числе и самим Евклидом).

Были ли у Евклида предшественники  в попытках создания дедуктивной  системы математики? Безусловно, были. О Гиппократе Хиосском мы уже говорили. Как сообщает неоплатоник Прокл  в своих комментариях к «Началам», аналогичные попытки предпринимались  также двумя математиками IV века — неким Леоном и Фев-дием из Магнесии, примыкавшим к платоновской Академии. Евклид, несомненно, был знаком с  их работами. Это, однако, нисколько  не умаляет его собственных заслуг. Мы не можем считать случайностью, что именно «Начала» сохранились  в веках, в то время как труды  непосредственных предшественников Евклида  были утеряны и забыты, и даже о их содержании не сохранилось никаких  сведений. В конечном счете суд  истории оказывается, как правило, справедливым.

Кроме «Начал», Евклиду приписывается  еще несколько сочинений, относящихся  к различным разделам математической науки. В книге «Данные» («Веаошепа») Евклид рассмотрел 95 случаев, когда  некоторым числом заданных величин  определяются другие величины (к каковым  могут относиться части фигур, их положения, взаимные соотношения и т. д.). В небольшом сочинении «О делении фигур» («Реп олакезеба»), сохранившемся только в арабском переводе, обсуждается задача о делении данной геометрической фигуры на две части, имеющие данное отношение, с помощью прямой, имеющей данное направление или проходящей через данную точку. Некоторые математические сочинения Евклида до нас не дошли; среди них древние источники называли «Ложные заключения» («Рвеийапа») и книгу о конических сечениях («Кошка»), написанную задолго до знаменитого трактата Аполлония на эту же тему.

Помимо чисто математических сочинений, Евклид написал еще ряд  сочинений, относящихся, согласно нынешней терминологии, к различным разделам математической физики. До нас дошли: «Явления» («РЬахпоше-па»), где излагается элементарная сферическая астрономия; далее, «Оптика» и «Катоптрика», о  которых речь пойдет ниже, и «Сечения канона» («КаЫхипё капопоз»), содержавшие  десять предложений о музыкальных  интервалах. Изложение в этих сочинениях также имело строго дедуктивный  характер, причем теоремы в них  выводились из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов.

Архимед. Величайший ученый эпохи эллинизма Архимед формально  не принадлежал к александрийской  научной школе; он родился в 287 г. до н. э. в Сиракузах и там же прожил почти всю свою жизнь. Считается, однако, несомненным, что он бывал  в Александрии, где установил  связи с александрийскими учеными; об этом свидетельствует его переписка  с Кононом, Досифеем и Эра-тосфеном.

Будучи сыном сиракузского математика и астронома Фидия. Архимед  уже в детстве получил хорошую  математическую подготовку. Но собственно математическими проблемами он начал  заниматься сравнительно поздно. В  какой-то период своей жизни Архимед  посетил Александрию, где сблизился  с уже упомянутым Кононом (с острова  Самос), занимавшим должность астронома  при дворе третьего представителя  династии Птолемеев — Птолемея III Эвергета (246—211 гг. до н. э.). Конон, в  то время находившийся в преклонном возрасте, был, несомненно, высококвалифицированным  математиком; предполагается, что именно он побудил Архимеда заняться чисто  математическими проблемами. По возвращении  в Александрию Архимед регулярно  переписывается с Кононом, а после  смерти последнего — с его учеником До-сифеем. До нас дошли пять писем  Архимеда к Досифею; по существу это  пять математических трактатов, из которых  каждый посвящен определенному кругу  проблем. В соответствии с их содержанием  эти письма-трактаты имеют следующие  названия: 
1. «Квадратура параболы», 
2 и 3. «О шаре и цилиндре», 
4. «О коноидах и сфероидах», 
5. «О спиралях».

Значение этих писем трудно переоценить: в них Архимед непосредственно  подходит к методам высшей математики. Если в первом письме, где решается задача об определении площади параболического  сегмента, отсеченного прямой, Архимед  еще пользуется методом исчерпывания Евдокса, то в последующих письмах  он разрабатывает свой метод, который  им применяется к вычислению поверхностей и объемов ряда геометрических тел.

Метод Архимеда представляет собой дальнейшее развитие и усовершенствование метода Евдокса. Как было указано  в предыдущей главе, Евдокс получал  искомое значение площади (поверхности, объема), безгранично увеличивая число  членов ряда величин, сумма которых  имела своим пределом именно это  значение. Но при этом общая схема  метода еще не "была сформулирована Евдок-сом, и рассуждения должны были повторяться заново для каждого конкретного случая. В отличие от Евдокса Архимед заключал подлежащую определению величину между двумя интегральными суммами, разность которых могла быть сделана меньше любой наперед заданной величины. Искомая величина находится при этом как общий предел обеих сумм при безграничном увеличении числа слагаемых, что эквивалентно задаче о вычислении определенного интеграла. При определении поверхности шара, при нахождении объема сегментов параболоида и гиперболоида, а также эллипсоида вращения Архимед, по существу дела, вычислял интегралы. Этим же методом он решал и более трудные задачи — определения длин дуг и площадей ряда кривых поверхностей.

Все эти задачи мы находим  в книгах «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях». Трудно сказать, осознавал ли Архимед, что в каждой из рассмотренных  им задач речь шла об одном и  том же математическом понятии —  понятии определенного интеграла. Во всяком случае, у него еще не было средств, чтобы Дать общее определение  интеграла. Кроме того, во всех решаемых задачах Архимеда интересовали в  первую очередь не методы, а результаты — например, что поверхность шара в четыре раза больше, чем площадь  его большого круга, и что объем  шара равен 2/з объема описанного около  него цилиндра. Последним результатом  Архимед особенно гордился, вследствие чего на его могиле был поставлен  надгробный памятник, изображавший шар, вписанный в цилиндр.

Наряду с методами вычисления площадей и объемов, Архимед разработал метод определения касательной  к кривой, фактически сводящийся к  нахождению производной. По каким-то причинам этот метод фигурирует только в письме «О спиралях», где он применяется  для определения касательной  к спирали р=аср (так называемая «Архимедова спираль», рис. 7), однако рассуждения Архимеда имеют общий  характер и применимы к любой  дифференцируемой кривой. Тем же методом  Архимед пользуется для нахождения экстремальных значений алгебраических выражений, которые могут быть выражены в виде геометрических кривых. В  частности, пользуясь современной  терминологией, можно сказать, что  он провел полное исследование существования  положительных корней кубического  уравнения определенного вида. Проблема определения экстремальных значений сводится Архимедом к проблеме нахождения касательной к соответствующей  кривой.

Помимо пяти писем к  Досифею, до нас дошли — полностью  или частично — еще некоторые  математические работы Архимеда. Так, мы располагаем фрагментом его книги  «Измерение круга», в котором доказывается ряд теорем, относящихся к свойствам  круга (более полный текст этого  сочинения сохранился в арабском переводе). В одной из теорем Архимед, пользуясь методом исчерпывания, доказывает, что площадь круга  равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу  данного круга, а другой — длине  его окружности. При этом в качестве побочного результата Архимед устанавливает  приближенное значение отношения длины  окружности к диаметру.

Наряду со строго математическими  методами Архимед иногда пользуется остроумными эвристическими приемами для получения тех же результатов. Еще в первом письме к Досифею («О квадратуре параболы») площадь параболического  сегмента определяется не только методом  исчерпывания Евдокса, но также «механическим» методом, представлявшим собою изобретение  самого Архимеда. Обоснование подобных процедур содержится в рукописи неизвестного ранее сочинения Архимеда, обнаруженной в Константинополе приват-доцентом Петербургского университета Попадопуло Керамевсом и прочтенной в 1906—1908 гг. известным датским филологом  И. Л. Хейбергом. В этом сочинении (так называемый «Эфод»), пользуясь принципом рычага, Архимед приводит доказательства ряда теорем, в других сочинениях доказываемых им с помощью интегрального метода. При этом Архимед пишет: «Кое-что из того, что ранее мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически». Разумеется, такие «механические» методы не могли быть применены ко всем задачам подобного рода, которые, однако, также были решены Архимедом. Механические методы, используемые Архимедом, представляют собой обход интегрирования, когда можно бывает выразить одни интегралы через другие, уже известные. Этому не противоречит то обстоятельство, что механические методы применялись Архимедом задолго до того, как он разработал интегральный метод, представлявший собой развитие метода исчерпывания Евдокса.

Уже в древности большой  популярностью пользовалось сочинение  Архимеда, дошедшее до нас полностью  под названием «Псаммит» (примерный  перевод — «Исчисление песчинок») и относящееся к числу поздних  работ великого сиракузца, причем, судя по началу, оно было теснейшим образом  связано с астрономической проблематикой. Математическое содержание «Псаммита» сводится к разработке системы классификации  больших чисел. Эта классификация, кажущаяся теперь неоправданно сложной, заканчивается числом, которое в  наших обозначениях может быть записано как 

Громадность этого числа  должна была поражать воображение древних, не привыкших оперировать с очень  большими числами. По сравнению с  ним количество песчинок, которые  заполнили бы пустую сферу, равновеликую сфере неподвижных звезд, оказалось  равным, согласно расчетам Архимеда, неизмеримо меньшему числу — 10⁶³. Не все математические сочинения Архимеда дошли до нашего времени. Так, книги «Леммы», «О семиугольнике», «О касающихся кругах» известны нам лишь в арабском изложении; некоторые геометрические теоремы, доказанные Архимедом, сохранились в математическом трактате знаменитого среднеазиатского ученого Ал-Бируни (973—1048 гг.); от ряда же других книг (в том числе от трактата «О параллельных линиях») до нас дошли лишь их заглавия. Но и того, что нам известно, достаточно, чтобы оценить Архимеда как величайшего математика древности, явившегося предтечей творцов высшей математики Нового времени.

Аполлоний Пергский. Третий великий математик эпохи эллинизма  — Аполлоний из Перги (в Панфилов — небольшой области, расположенной  на южном побережье Малой Азии) — жил и работал в Александрии, Пергаме и Эфесе в конце III в. до н. э. Наиболее знаменитое сочинение  Аполлония — «Конические сечения» («Кошка») — посвящено теории кривых второго порядка (эллипса, гиперболы  и параболы), получающихся при сечении  конуса плоскостью, расположенной под  разными углами к оси конуса. До нас сочинение Аполлония дошло  не полностью: из составлявших его восьми книг мы располагаемым оригинальным греческим текстом лишь первых четырех  и арабским переводом трех последующих; что же касается восьмой книги, то она считается утерянной, хотя о  ее содержании мы можем судить по изложению  Паппа в его «Математическом  сборнике». Долгое время сочинение  Аполлония не имело влияния на развитие науки, и лишь в XVII в., в связи  с развитием аналитической геометрии, механики и новой теории движения планет, данной Кеплером, наступило  возрождение идей Аполлония. Теория конических сечений Аполлония принадлежит  к числу таких математических теорий, которые создавались задолго  до того, как в них возникала  потребность в математическом естествознании.