Логика. Задачи

      Грабеж  есть открытое хищение чужого имущества.

      РЕШЕНИЕ:

      Грабеж  есть открытое хищение чужого имущества  А. Противоположность  (контрарность): ни один грабеж не есть открытое хищение чужого имущества˥ E. Из истинности одного суждения следует ложность другого суждения, но из ложности одного из них не следует истинность другого. Противоречие (контрадикторность) некоторые грабежи не есть хищение чужого имущества (˥ O). Подчинение: некоторые грабежи есть открытое хищение чужого имущества (I). 
 
 
 
 

      Преобразование  суждения, в результате которого субъектом  становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом – субъект исходного  суждения, называется противопоставлением  предикату.

      Общеутвердительное суждение (А) преобразуется в общеотрицательное (E).

Все S суть P

Ни одно не-Pне есть S 

      Общеотрицательное суждение (E) преобразуется в частноутвердительное (I).

Ни  одно S не есть P

Некоторые не-P суть S 

      Частноутвердительное  суждение (I) посредством противопоставления предикату не преобразуется.

      Частноотрицательное суждение (O) преобразуется в частноутвердительное (I). 

Некоторые S не суть P

Некоторые не-P суть S

      Основу  отношений между суждениями составляет их сходство по смыслу и логическим значениям (истинности и ложности). В силу этого отношения устанавливаются не между любыми, а лишь между сравнимыми, т.е. имеющими общий смысл, суждениями. Учитывая структурные различия, рассматривают вначале отношения между простыми, а затем между сложными суждениями.

      Несравнимыми  среди простых являются суждения, имеющие различные субъекты или  предикаты. Таковы, например, два суждения: «Среди космонавтов есть летчики»; «Среди космонавтов есть женщины».

      Сравнимыми  являются суждения с одинаковыми  субъектами и предикатами и различаются  связкой или квантором. Обычно их называют суждениями одинаковой материи. Например, «Все американские индейцы  живут в резервациях»; «Некоторые американские индейцы не живут в  резервациях». Отношения между простыми суждениями обычно рассмотривают с  помощью мнемонической схемы, называемой логическим квадратом.

      Умозаключения по логическому квадрату.

      Учитывая  свойства отношений между категорическими  суждениями:

A – общеутвердительное, E – общеотрицательное,

I – частноутвердительное, O – частноотрицательное, которые иллюстрированы схемой логического квадрата, можно строить выводы, устанавливая следование истинности или ложности одного суждения из истинности или ложности другого суждения.

      Противоположность

         (контрастность)

  A    E Подчинение

          Подчинение  
 

      I O

               Частичная совместимость

            (субкантрарность)

Его вершины символизируют простые категории суждения - A, E, I, O: стороны и диагонали – отношения между суждениями. Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые суждения. К совместимым относят суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости: 1) эквивалентность (полная совместимость, 2) частичная совместимость (субконтрарность) и 3) подчинение.

      Эквивалентными  являются такие суждения, которые  имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную – утвердительную или отрицательную  связку-, одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику. С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются.

      Частичная совместимость характерна для суждений I и O, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. При ложности одного из их другое будет истинным : ˥ I → O; ˥ O → I.

      Подчинение  имеет место между суждениями A и I, E и O. Для них характерны следующие две зависимости.

     При истинности общего суждения частное  всегда будет истинным: A → I; E → O.

При ложности частного суждения общее суждение также будет  ложным: ˥ I → ˥ A; ˥ O → E.

      Несовместимыми  являются суждения A и E, A и O, E и I, которые одновременно не могут быть истинными. Различают два вида несовместимости: противоположность и противоречие.

      Противоположными (контрарными) являются суждения A и E, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными. Истинность одного из противоположных суждений определяет ложность другого: A → ˥ E; E → ˥ A.

      Противоречащими (контрадикторными) являются суждения A и O, E и I, которые одновременно не могут  быть ни истинными, ни ложными. Если A признается истинным, то O будет ложным (A→ ˥ O); при истинности E будет ложным I (E→ ˥ I). И наоборот: при ложности A будет истинно O (˥A→ O); а при ложности E будет истинным I (E→ ˥ I). 

      Гл. III, упр. 11.4

      Выполняя  условия упр. 10, из приведенных суждений вывести противоречащие, частичной совместимости и подчиняющие суждения, установить их истинность или ложность.

      Большинство студентов успешно сдали сессию.

      РЕШЕНИЕ:

      Большинство студентов успешно сдали сессию (I). Противоречие: Меньшинство студентов не сдали успешно сессию (˥ E). Частичная совместимость: Большинство студентов успешно не сдали сессию (O). Подчинение: Все студенты успешно сдали сессию (˥A).  

      Гл. IV, упр. 3.4

      Используя условную посылку, построить  умозаключение: а) по утверждающему, б) по отрицательному модусу, построить их схему в символической записи. Если условная посылка явно не выражена, сформулировать ее в явной логической форме (со связкой «если…, то…»).

      Из-за неблагоприятной погоды вылет самолета задерживается.

      РЕШЕНИЕ:

1. Посылку можно записать, используя логический союз «если…, то…»: если не будет благоприятной погоды (p), то вылет самолета задерживается (q).
2. Умозаключение выстроим по утверждающему модусу: Если не будет благоприятной погоды (p), то вылет самолета задерживается (q). Благоприятной погоды нет (p). Следовательно, вылет самолета задерживается (q). Его схема:

p→q, p

            q

3. Умозаключение по отрицающему модусу. Если не будет благоприятной погоды (p), то вылет самолета задерживается (q). Вылет самолета не задерживается (˥q), значит, погода благоприятна (˥p). Его схема:

            p→q, ˥q

            p

      Силлогизм (от греческого syllogismos) – умозаключение, состоящее из двух суждение (посылок), из которых следует третье суждение (вывод).

      Широко  распространенным видом опосредованных умозаключений является простой  категорический силлогизм, заключение в котором получается из двух категорических суждений. Третье заключение, полученное из двух первых является категорическим заключением. Таким образом, простой категорический силлогизм состоит из трех, два из которых являются посылами, а третье – заключением.

      В отличие от терминов суждения –  субъекта (S) и предиката (P) -  понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. Различают меньший, больший и средний термины. Меньшим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является субъектом. Большим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является предикатом. Меньший и больший термины называются крайними и обозначаются соответственно S и P. Каждый из крайних терминов входит не только в заключение, но и в одну из посылок и называются соответственно- меньшей и большей посылками. Посылки различают не их местом в силлогизме, а входящими в них терминами. Вывод в силлогизме был бы невозможен, если бы в нем не было среднего термина. Средним термином силлогизма называется понятие, входящее в обе посылки и отсутствующее в заключении. Средний термин обозначается буквой M (от латинского medius –«средний»). Средний термин связывает два крайних термина.

      Простой категорический силлогизм – это  умозаключение об отношении двух крайних терминов на основании их отношения к среднему термину.

      Правила терминов.

1-е правило:  в силлогизме должно быть только  три термина.

2-е правило:  средний термин должен быть  распределен хотя бы в одной  из посылок.

3-е правило:  термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении.

      Умозаключения строятся не только из простых, но и  из сложных суждений. Широко используются умозаключения, посылками которых являются условные и разделительные суждения, выступающие в различных сочетаниях друг с другом или с категорическими суждениями. К ним относятся чисто условное, условно-категорическое, разделительно-категорическое и условно-разделительное умозаключения.

      Чисто условным называется умозаключение, обе  посылки которого являются условными  суждениями. Его схема:   (p→q) ˄ (q→r)

      p→r

      Вывод в чисто условном умозаключении  основывается на правиле: следствие  следствия есть следствие основания.

      Условно-категорическим – умозаключением называется умозаключение, в котором одно из посылок – условное, а другая посылка и заключение  категорические суждения. Это умозаключение имеет два правильных модуса: 1) утверждающий и 2) отрицающий.

      Модус (от латинского – modus «мера, образ, способ») – в логике разновидность силлогизма.

      В утверждающем модусе (modus ponens) посылка, выраженная категорическим суждением, утверждает истинность основания условной посылки, а заключение утверждает истинность следствия: рассуждение направлено от утверждения истинности основания к утверждению истинности следствия. Например:

Если иск  предъявлен недееспособным лицом (p), то суд оставляет их без   рассмотрения (q)

Иск предъявлен недееспособным лицом (p) 

                 Суд оставляет их без   рассмотрения (q)

     Первая  посылка – условное суждение, выражающее связь основания (p) и следствия (q). Вторая посылка – категорическое суждение, в котором утверждается истинность основания (p): иск предъявлен недееспособным лицом. Признав истинность основания (p), мы признаем истинность следствия (q): суд оставляет их без   рассмотрения.

     Утверждающий  модус дает достоверные выводы. Он имеет схему:

p→q, p

           q

     В отрицающем модусе (modus tollens) посылка, выраженная категорическим суждением, отрицает истинность следствия условной посылки, а заключение отрицает истинность основания. Рассуждение направлено от отрицания истинности следствия к отрицанию истинности основания. Например:

Если иск  предъявлен недееспособным лицом (p), то суд оставляет их без   рассмотрения (q)

     Суд не оставил иск  без рассмотрения (не-q)

Неверно, что  иск предъявлен недееспособным лицом (не-p)

Схема отрицающего  модуса:   p→q, ˥q

                ˥ q

     Нетрудно  установить, что возможны еще два  варианта условно-категорического  силлогизма: от отрицания истинности основания к отрицанию истинности следствия 

                                          p→q, ˥p

                ˥q

и от утверждения  истинности следствия к утверждению  истинности основания

                                          p→q, p

                q

     Однако  заключение по этим модусам не будет  достоверным.

Из четырех  модусов условно-категорического  умозаключения, исчерпывающих все  возможные комбинации посылок, достоверные  заключения дают два: утверждающий модус (modus ponens) и отрицающий модус (modus tollens). Они выражают законы логики и называются правильными модусами условно-категорического умозаключения. Эти модусы подчиняются правилу: утверждение основания ведет к утверждению следствия и отрицание следствия – к отрицанию основания. Два последних модуса достоверных заключений не дают. Они называются неправильными модусами и подчиняются правилу: отрицание основания не ведет с необходимостью к отрицанию следствия и утверждение следствия не ведет с необходимостью к утверждению основания.